Функции одного случайного аргумента. Законы распределения. Числовые характеристики

Случайную величину Y называют функцией случайного аргумента  X и записывают , если каждому значению X поставлено в соответствие некоторое значение Y. Возникает вопрос о нахождении закона распределения и числовых характеристик У по известному закону распределения Х.

Если X - дискретная случайная величина и функциональная зависимость  монотонна, то различным значениям X будут соответствовать различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений будут одинаковы. Т.е. если x_i - возможные значения X, а - полученные значения Y, то и закон распределения У имеет вид:

У =j (х )	у = j ( х )	у = j (х )	…	у =j (х )	…	у =j (х )
Р(Y=уi)	р	р	…	р	…	р

Если же зависимость  немонотонна, то различным значениям X могут соответствовать одинаковые значения Y. В таких случаях для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех значений X, при которых Y принимает одинаковые значения и расположить все значения  в порядке возрастания.

Если X - непрерывная случайная величина, заданная дифференциальной функцией  и функциональная зависимость   строго монотонна, то дифференциальная функция  определяется равенством

                          (7.1)

где х=  - обратная функция для функции    .

В случае немонотонной зависимости  на  множестве изменения X, следует разбить это множество на такие интервалы, в которых  сохраняет монотонность, найти в соответствии с формулой (7.1)  на каждом из этих интервалов и представить  в виде суммы:

.

При известном законе распределения функции случайного аргумента  определение числовых характеристик производится обычным способом:

для дискретныхХ                          для непрерывныхХ

;                             ;

;                      ;

Однако  и   можно получить, не определяя предварительно закон распределения функции . Рассмотрим примеры.

Пример 7.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти закон распределения функции .

4 Составляем таблицу:

Так как все полученные значения у_i различны и расположены в возрастающем порядке, эта таблица выражает закон распределения функции . 3

Пример 7.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти закон распределения функции .

4 Составляем таблицу:

.	0	-1	0	3	8
Р(У=уi)	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

Здесь есть два одинаковых значения у=0, им следует отвести один столбец, соответствующие вероятности сложить и расположить столбцы в порядке возрастания у_i . Закон распределения У имеет вид:

Пример 7.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей . Найти дифференциальную функцию случайной величины .

4 Поскольку функциональная зависимость  монотонна на всей числовой оси, пользуемся готовой формулой , где  - обратная функция для функции ; Þ ;

, ,

итак,  3

Пример 7.4. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией . Найти дифференциальную функцию распределения  случайной величины .

4 Функция  на интервале  не является монотонной. Разобьем этот интервал на две части  и , в каждой из которых функция сохраняет монотонность. В интервале , обратная функция есть , в интервале  - . Найдем  из равенства:

.

Производные обратных функций соответственно равны:

,   ,

и            .

Так как Х принимает значения в интервале , то . Таким образом,

.

Контроль: . 3

Пример 7.5. Закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

4Воспользуемся формулами, не вычисляя предварительно закон распределения случайной величины У:

=  =

= ;

        . 3

Пример 7.6. Плотность распределения случайной величины Х задана выражением: . Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

4Воспользуемся формулами для вычисления математического ожидания и дисперсии функции непрерывного случайного аргумента Х, не находя предварительно закона распределения случайной величины У:

;

 3