Законы распределения функций двух случайных аргументов. Числовые характеристики

Пусть случайная величина Z является функцией двух случайных величин, образующих систему (Х, У), т.е. . Для непрерывной системы (Х,У) с известной плотностью распределения вероятностей , закон распределения Z следует определять, начиная с построения интегральной функции :

,     (7.2)

величина z содержится в этом выражении неявно в пределах интегрирования.

Плотность распределения Z можно найти, дифференцируя G(z)по z:

.                                        (7.3)

При известном законе распределения случайной величины Z ее числовые характеристики можно вычислить по обычным правилам, но можно их определить и не прибегая к нахождению закона распределения Z.

Для дискретных Х и Y:

;       . (7.4)

Для непрерывных Х и Y:

;                             

.     (7.5)

    Пример 7.7. Система (Х₁,Х₂) задана плотностью распределения ; величина Z есть произведение случайных величин  и ; . Найти плотность распределения величины Z.

4 Графиком функции  является гипербола . (Рис. 7.1).

 Функция распределения  имеет вид:

+ .

Дифференцируя по z, получим:

. 3

Пример 7.8.Система (Х,У) задана законом распределения

Найти закон распределения случайной величины Z =Х+У.

4 Находим значения x_i+y_j: -1, 0, 1, 2, 0, 1,2 , 3, 1, 2, 3, 4. Объединяя одинаковые и располагая их в порядке возрастания, получим возможные значения Z : –1, 0, 1, 2, 3, 4. Вычисляем соответствующие вероятности: ;

; и т.д.

Искомый закон распределения Z имеет вид:

Контроль: 0,01+0,1+0,34+0,29+0,17+0,09=1. 3

Пример 7.9.Система (Х,У) задана плотностью распределения , где . Вычислить числовые характеристики  и  случайной величины .

4 Воспользуемся формулами (7.5)

Получим: =

 =  =  = = ,

. 3

Пример 7.10. Система (Х, У) задана законом распределения

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

4 Не определяя закон распределения случайной величины Z, воспользуемся формулами

=

=

 3

Теоремы о числовых характеристиках и их применение

Процесс вычисления числовых характеристик функций случайных аргументов значительно упрощается, если использовать теоремі о свойствах числовых характеристик, особенно в тех случаях, когда функции – линейны.

Теоремы о математических ожиданиях.

1.

2.

3.

4.

5. Если случайные величины  независимы, то

Теоремы о дисперсиях

1.

2.

3. , где - корреляционный момент пары случайных величин  и .

4.

Пример 7.11. Случайная величина Х – число автомобилей, реализуемых в течение одного дня автомобильным салоном, задана законом распределения

Номинальная стоимость одного автомобиля 3тыс. усл. ед. и за каждый день салон имеет 0,2 тыс. усл. ед. прибыли за счет дополнительных услуг. Указать среднюю выручку, получаемую салоном ежедневно и ее разброс.

4 Ежедневная выручка автомобильного салона есть случайная величина , и для решения задачи требуется определить  и . Вначале найдем числовые характеристики Х:

- в среднем продается 2 автомобиля в день; ,

-разброс продажи составляет 1 автомобиль в день.

На основании теорем о числовых характеристиках будем иметь:

 тыс.усл.ден.ед. – средняя ежедневная выручка;      тыс.усл.ден.ед. – разброс от средней выручки. 3

Пример 7.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

4 Функция  представляет собой плотность показательного закона распределения, а это значит, что   и . Тогда согласно теоремам о числовых характеристиках  и . 3

Пример 7.13.Случайные величины Х и У, характеризующие соответственно расширение ассортимента выпускаемой продукции и изменение ее качества, заданы своими числовыми характеристиками  Вычислить числовые характеристики  и  случайной величины , характеризующей колебания прибыли предприятия.

4 Согласно теоремам о числовых характеристиках, будем иметь:

; . 3

Пример 7.14. Плотности распределения вероятностей независимых случайных величин Х и У заданы формулами:

.

Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

4 Случайная величина Х распределена равномерно в интервале , это значит, что  Случайная величина У подчинена показательному закону распределения, следовательно . Так как Х и У независимы, то  и согласно теоремам о числовых характеристиках, получим

; . 3

Задачи

7.1. Случайная величина Х задана законом распределения

Составить закон распределения случайной величины У=X  вычислить

Ответ:                   

Y	0	1	4
P	0,3	0,5	0,2	s =1,45

Система (Х,У) задана законом распределения:

Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины : а) Z=X+Y; б) Z=XY; в) Z=2X-3Y; г) .

 Ответ: а)                                                б)

 ; s =1,07.                  ; 

в)                                                                   г)

7.2. Случайная величина Х задана плотностью вероятности . Найти математическое ожидание случайной величины .

Ответ: М=1.

7.3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Ответ: Р(Y≤4)=0,4

7.4. В партии из 10 деталей содержится 4 нестандартных. Наугад отобраны 2 детали. Записать законы распределения случайных величин Х={число стандартных деталей среди отобранных} и .

    Ответ:

,
 

Случайная величина Х задана плотностью распределения:

.

 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины .

Ответ:  

7.5. Случайная величина Х задана функцией распределения .Найти плотность распределения g(y) случайной величины . 

Ответ:

7.6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Y=sinX, если случайная величина Х задана законом распределения:

Ответ:  

7.7. Партия из 10 деталей содержит 8 стандартных. Наугад отобраны 2 детали. Составить законы распределения случайной величины Х={число стандартных деталей среди двух отобранных} и случайной величины . Определить вероятность того, что Y>4.         

Ответ:

 Р(Y>4)=28/45.

7.8. Найти математическое ожидание случайной величины Y=e^X, если случайная величина Х задана функцией распределения:

.

Ответ: М= 0,5( е  +1 ).

7.9.  Дискретная случайная величина Х имеет возможные значения Х={-2,0,3}. Известно, что математическое ожидание величины Х равно 1.0; а дисперсия равна 1.4. Найти законы распределения случайной величины Х и случайной величины Y=X².

Ответ:

7.12.  Дана плотность вероятности случайной величины: . Найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величиной Y= e^X .

Ответ: а= 2;

7.13. Случайная величина Х задана функцией распределения Рэлея: .Найти плотность распределения  случайной величины Y=e^X.     

   Ответ: 

7.14. Партия из 5 изделий проверяется на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0.8. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х={число стандартных изделий в партии}, а также математическое ожидание и дисперсию случайной величины   Y=3X-1.

Ответ:    

7.15. Плотность распределения случайной величины Х: . Найти коэффициент а и плотность вероятности величины Y=X².      

Ответ: а = 1/p;

7.16. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины = cos X.

Ответ:

7.17.  Задана функция распределения случайной величины Х: . Определить вероятность того, что 0.2≤Y≤0.5, если Y= .

Ответ: Р = 0,00195.

7.18.  Случайная величина Х может принимать значения: Х={-1,0,1}. Известно, что математическое ожидание величины Х равно 0, а дисперсия равна 0.08. Составить законы распределения случайных величин Х и Y=X².

Ответ:

7.19. Случайная величина Х задана рядом распределения:

Найти функцию распределения F(y), построить ее график и вычислить вероятность события (Y 3), если Y=X².

Ответ:

.

Р(У<3)=Р(У£3)=1.

7.20.   Случайная величина Х имеет плотность вероятностей: .

 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=e^X.       

Ответ: Му=0,5е ; Dy =(e  –1)/16.

7.21.  Производится два выстрела с вероятностями попадания в цель при каждом выстреле соответственно 0.6. Составить законы распределений случайной величины Х={ число попаданий при двух выстрелах} и величины Y=2X+2.

Ответ:

7.22. Случайная величина Х имеет плотность распределения вероятностей: . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины Y= .       

Ответ:

7.23.  Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=4X+Y, если X и Y - независимые нормально распределенные случайные величины с плотностями распределений:

,  .

Ответ:

7.24. Определить математическое ожидание случайной величины Z= XY+X, если X и Y - случайные величины с известными m_x=2,  m_y= ‑2 и K_xy= ‑3.

Ответ:

7.25. Заданы две независимые случайные величины X и Y. Величина Х распределена по показательному закону с параметром ; величина Y распределена по тому же закону с параметром . Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=‑3X+2Y.

Ответ:

7.26.  Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=4X-2Y, если X и Y - случайные величины с известными характеристиками m_x=2,  m_y=-1, D_x=4, D_y=2, K_xy=2.

Ответ:

7.27.  Случайная величина Х распределена равномерно в интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Ответ:

7.28.  Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (0,3). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины .                      

Ответ:

7.29.  Заданы две независимые случайные величины X и Y. Величина Х распределена равномерно на интервале (‑3, 1), величина Y распределена по показательному закону с параметром . Определить математическое ожидание случайной величины Z= 5XY-3X.

Ответ:

7.30.  Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3X+4Y, если X и Y - случайные величины с известными характеристиками m_x=‑2,  m_y=1, D_x=3, D_y=1, K_xy=4.

Ответ:

7.31. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z= ‑X+3Y, если X и Y - случайные величины с известными характеристиками m_x= ‑1,  m_y=2, D_x=1, D_y=3, K_xy= ‑2

Ответ:

7.32.  Заданы две независимые случайные величины X и Y. Величина Х распределена нормально с плотностью вероятности , величина Y распределена равномерно на интервале (‑5, 1). Определить математическое ожидание случайной величины Z= -2XY-10.

Ответ:

 ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Установление статистических закономерностей, присущих массовым случайным явлениям, основано на изучении статистических данных – сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак.

    В математической статистике изучаются две основные задачи:

- указать способы сбора и группировки статистических сведений (данных), полученных в результате наблюдений или поставленных экспериментов (здесь не рассматриваются);

- разработать методы анализа статистических данных в зависимости от поставленных целей исследования.

С математической статистикой тесно связаны такие науки как планирование эксперимента, последовательный анализ данных, регрессионный анализ, эконометрика и ряд других. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.