Проверка статистических гипотез

В основе понятия статистической гипотезы лежит принцип практической уверенности: если вероятность события А очень мала, то при однократном проведении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, будто событие А вообще невозможно.

Вопрос о конкретной величине вероятности события А решает исследователь.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу называют нулевой и обозначают . Наряду с нулевой рассматривают альтернативную, конкурирующую гипотезу , являющуюся логическим отрицанием . Правило, по которому гипотеза  принимается или отвергается, называется статистическим критерием.

Вероятность  допустить ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу , когда она верна, называется уровнем значимости критерия.

Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу , когда она неверна, обычно обозначают . Вероятность  называют мощностью статистического критерия.

По своему содержанию статистические гипотезы подразделяются на основные следующие типы:

· О равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей;

· О числовых значениях параметров;

· О законе распределения;

· Об однородности выборок, т.е. принадлежности их одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две совокупности, генеральные средние которых соответственно  и , дисперсии известны и равны соответственно  и . Из этих совокупностей взяты независимые выборки объемами  и  по которым найдены выборочные средние  и , и выборочные дисперсии . В этом случае могут проверяться следующие статистические гипотезы.

Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух генеральных совокупностей

    Проверяется гипотеза : , на уровне значимости . Конкурирующая гипотеза :

Статистика для проверки:

;

критическая область выбирается из условия . Если , то гипотеза  не отвергается (не противоречит имеющимся наблюдениям).

    Пример 8.2. Для проверки эффективности рекламной компании отобраны две группы магазинов. В первой, численностью , где проводилась рекламная компания, выборочная средняя составила  проданных изделий, во второй группе, численностью , где рекламная компания не проводилась, выборочная средняя  изделий. Установлено, что дисперсии продаж соответственно равны: . Выяснить: повлияла ли рекламная компания на объем продаж?

4 Нулевая гипотеза : , на уровне значимости . Конкурирующая гипотеза : . Фактическое значение критерия (статистики):

.

Критическое значения критерия находится из условия: . Так как , то нулевая гипотеза отвергается, что свидетельствует о влиянии рекламной компании на объем продаж. 3