Глава 6. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Закони распределения систем случайных величин.

        Несколько случайных величин, рассматриваемых совместно, образуют систему случайных величин, обозначаемую (X,Y), (X,Y,Z), ... . В дальнейшем рассматриваются системы двух случайных величин (случайные векторы) (Х,Y), где Х, Y – составляющие системы, могут быть дискретными или непрерывными.

 Охарактеризовать систему (Х,Y) можно законом ее распределения. Законом распределения (X,Y)называется соотношение, устанавливающее связь между областями ее значений и соответствующими вероятностями. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задается в виде таблицы 1:

Таблица 1

X \ Y			. . .
			. . .
			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .

где  - вероятность события, заключающегося в совместном выполнении равенств      причем .

Интегральная функция распределения вероятностей системы случайных величин (Х,У) определяется:

        (6.1)

и геометрически представляет собой вероятность попадания случайной точки с координатами (Х,У) в бесконечный прямоугольник с вершиной в точке М(х;у), лежащий левее и ниже ее.

Для систем дискретных случайных величин интегральная функция распределения:

.                                 (6.2)

Для систем непрерывных случайных величин интегральная функция распределения: 

,                          (6.3)

где  ‑ плотность распределения вероятностей или дифференциальная функция распределения системы случайных величин (Х,У):

       (6.4)

Свойства интегральной функции распределения:

1) .

2) .

3) .

4) .

Свойства дифференциальной функции распределения

(плотности вероятности):

1)

2) (условие нормировки);

3) ;

4) вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в область D :

.                  (6.5).

Случайные величины Х и Y являются независимыми, если , где F₁(x), F₂(y) – безусловные интегральные функции распределения составляющих системы.

Одномерные плотности вероятностей составляющих системы:

                  (6.5).

Для системы независимых случайных величин Х и Yдвумерная плотность вероятности равна произведению плотностей распределения вероятностей составляющих:

                                      (6.6)

В случае системы дискретных случайных величин можно построить безусловные законы распределения составляющих в виде таблиц 2 и 3.

Таблица 2

			. . .
			. . .

Таблица 3

			. . .
			. . .

Пример 6.1.Передаются два сообщения, каждое из которых может быть независимо друг от друга либо искажено, либо не искажено. Вероятность события А {сообщение искажено} для первого сообщения равна 0,2, для второго - 0,3. Рассматривается система двух случайных величин (Х,У), определяемых так:

Х=0, если первое сообщение не искажено,           Р(X=0)=0,8;

X=1, если первое сообщение искажено,          Р(X=1)=0,2;

Y=0, если второе сообщение не искажено,          Р(Y=0)=0,7;

Y=1, если второе сообщение искажено,                  Р(Y=1)=0,3;

Найти закон совместного распределения системы (Х,Y).

4 Так как случайные величины, входящие в систему, дискретны, то закон распределения должен быть выражен в виде таблицы 1. Вероятности  определятся следующим образом.

; ; ; .

Закон распределения системы (Х,У) имеет вид:  

\	0	1
0	0,56	0,24	.3
1	0,14	0,06

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒