Различные приемы интегрирования тригонометрических функций.

1) Интегралы вида ,где  и  − целые числа.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если  − нечетное число, то применяется подстановка ;
если  − нечетное число, то применяется подстановка .

б) Если  и  − четные неотрицательные числа, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул понижения степени:

, , .

в) Если  и  − либо оба четные, либо оба нечетные, причем хотя бы один из них отрицателен, то применяют подстановку .

2) Интегралы вида , где  − рациональная функция.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки , откуда , , , интегралы рассматриваемого вида приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций.

3) Интегралы вида , , .

Такие интегралы легко вычисляются, если применить следующие тригонометрические формулы:

, ,

.

Примеры 18.Вычислить интегралы:

1) .

Решение:Применим подстановку  и воспользуемся формулой . Тогда

2) .

Решение: Воспользуемся подстановкой . Имеем

3) .

Решение: Подынтегральная функция нечетна относительно синуса, поэтому сделаем подстановку . Тогда

4) .

Решение: Используя формулы понижения степени, получим

5) .

Решение: В данном случае применим подстановку  и формулу . Тогда

6) ,

Решение: Представим числитель по формуле  и разделим почленно числитель на знаменатель, получим

.

Для нахождения первого интеграла воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой , имеем

Для нахождения второго интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Полагая , , имеем

, .

Следовательно,

Итак, находим искомый интеграл

7) ,

Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстанов­кой . Имеем

.

8) .

Решение: Воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму, получим

Задания для самостоятельной работы по теме

«Интегрирование тригонометрических функций».

Задание. Вычислить следующие интегралы:

18.1. .	18.2. .	18.3. .
18.4. .	18.5. .	18.6. .
18.7. .	18.8. .	18.9. .
18.10. .	18.11. .	18.12. .
18.13. .	18.14. .	18.15. .
18.16. .	18.17. .	18.18.

Тема19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

Различные приемы интегрирования иррациональных функций.

1) Если корни в подынтегральном выражении имеют вид ,

то с помощью подстановки , где  − наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел , подынтегральное выражение преобразуется в рациональную дробь.

2) Интегралы вида  преобразуются в интегралы от рациональных дробей с помощью подстановки .

3) Интегралы вида рационализируются с помощью подстановки .

4) Интегралы вида

а) ,б) ,в)

интегрируются с помощью тригонометрических подстановок:

а)  или ,

б)  или ,

в)  или .

Примеры 19.Вычислить интегралы:

1) .

Решение: Здесь  входит в подынтегральную функцию с показателями корней 2 и 3. Поэтому применяем подстановку , откуда

.

Получился интеграл от рациональной дроби. Выделяем целую часть:

.

Для нахождения последнего интеграла разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

,

откуда

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим  Следовательно,

2) ,

Решение: Полагая , имеем

 где .

3) .

Решение: Положим , откуда , .

Следовательно,

.

Для вычисления полученного интеграла представим подынтегральную дробь в виде

.

Таким образом,

 где .

4) .

Решение: Положим . Тогда ,

. Имеем

Так как , то , . Поэтому

5) .

Решение: Полагаем . Откуда ,

. Следовательно,