Различные приемы интегрирования квадратных трехчленов.

1. Интегралы вида .

Основной прием вычисления таких интегралов − выделение полного квадрата из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и разложение полученного интеграла на сумму двух интегралов.

2. Интегралы вида .

Прием вычисления таких интегралов тот же – следует выделить полный квадрат из квадратного трехчлена подкоренного выражения и разложить на сумму двух интегралов.

Примеры 16.Вычислить интегралы:

1) .

Решение:Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

.

Отсюда находим

.

2) .

Решение: Выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена, получаем

.

Следовательно,

.

3) .

Решение: Выделяя полный квадрат из квадратного трехчлена, имеем

.

Отсюда получаем

.

4) .

Решение: Сначала выделим полный квадрат из квадратного трехчлена

.

Таким образом,

.

Задания для самостоятельной работы по теме

«Интегрирование функций, сордержащих квадратный трехчлен».

Задание. Вычислить следующие интегралы:

16.1. .	16.2. .
16.3. .	16.4. .
16.5. .	16.6. .
16.7. .	16.8. .
16.9. .	16.10. .

Тема17. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.

Интегрирование простейших дробей.

Определение 17.1.Рациональная дробь , где  − многочлены степени  и  соответственно, называется правильной, если . Если , то дробь называется неправильной.

Определение 17.2.Простейшими рациональными дробями называются дроби, относящиеся к следующим четырем типам:

I. .II. . III. . IV. .

Здесь  – постоянные числа, , а – квадратный трехчлен, не имеющий действитель­ных корней.

Простейшие дроби интегрируются следующим образом:

,

.

Интегрирование простейшей дроби III типа было рассмотрено
в теме 16 «Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен».

Для интегрирования простейшей дроби IV типа сначала следует выделить полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе дроби, т.е. . Затем сделать подстановку  и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов: первый интеграл интегрируется непосредственно, второй интеграл с помощью рекуррентной формулы:

.

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших рациональных дробей.

Теорема 17.1. Любая правильная рациональная дробь  может быть единственным образом представлена в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей.

Например, еслизнаменатель записать в виде произведения неповторяющихся линейных и квадратных множителей

,

где  − натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде следующей суммы простейших дробей:

.

Постоянные коэффициенты  в данном разложении находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов. Для этого обе части последнего равенства приводят к общему знаменателю, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях  (первый способ). Не раскрывая скобок, дать аргументу  столько различных значений, сколько имеется неопределенных коэффициентов (второй способ).