Теоремы о среднем дифференциального исчисления.

1. Теорема Ролля.Если функция :

1)непрерывна на отрезке ,

2)дифференцируема на интервале ,

3) ,

то найдется по крайней мере одна точка  на интервале , в которой .

2. Теорема Лагранжа.Если функция :

1. непрерывна на отрезке ,

2. дифференцируема на интервале ,

то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой

.

3. Теорема Коши.Если две функции  и :

1. непрерывны на отрезке ,

2. дифференцируемы на интервале ,

3.  на интервале ,

то на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой

.

Замечание 11.1.Формулу из теоремы Лагранжа иногда, обозначая , записывают в следующем виде:

.

Формула Тейлора.

Естественным обобщением последней формулы для функций, имеющих nпроизводных в некоторой окрестности точки  (включая саму эту точку), является формула Тейлора:

где  – остаточный член формулы Тейлора, в форме Лагранжа имеющий вид:

(  – некоторая промежуточная точка между точками  и ).

Пример 11.2.Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .

Решение: Функция  определена и непрерывна на отрезке  как элементарная функция. Найдем ее производную: , т.е. функция дифференцируема на интервале . Следовательно, теорема Лагранжа справедлива для функции  на отрезке . Поэтому на интервале найдется по крайней мере одна точка , в которой

.

Решая данное уравнение относительно , получим .

Правило Лопиталя.

Простым приемом для раскрытия неопределенностей вида  и  при отыскании предела функций является правило Лопиталя (Гильом Лопиталь (1661-1704) – французский математик).

Теорема 11.1.Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций  и  равен пределу отношения их производных, если последний существует, т.е.

.

Пример 11.3. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения  приводит к неопределенности вида . Предел отношения производных существует. Тогда

.

Замечание 11.2.Если  и при , то отыскание предела  (неопределенность вида ) может быть сведено к одному из ранее рассмотренных случаев  или  путем тождественных преобразований:

или .

Пример 11.4. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Преобразуем функцию так, чтобы получилась неопределенность вида : . Предел отношения производных существует. Тогда

.

Замечание 11.3.Если  и при , тоотыскание предела  (неопределенность вида ) может быть сведено к раскрытию неопределенности вида  путем тождественных преобразований:

или .

Пример 11.5. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Преобразуем функцию так, чтобы получилась неопределенность вида : . Предел отношения производных существует. Тогда

Замечание 11.4.При отыскании предела функции вида  могут возникнуть неопределенности вида . В этих случаях можно прийти к неопределенности вида  путем следующих преобразований:

,

а в силу непрерывности показательной функции:

Пример 11.6. Вычислить .

Решение: Подстановка предельного значения приводит к неопределенности вида . Преобразуем исходный предел: , где

Тогда .