Задания для самостоятельной работыпо теме

«Исследование функций и построение графиков».

Задание 1.Определить интервалы монотонности функций:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .

Задание 2.Найти точки экстремума функций:

2.1. .	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5. .	2.6. .

Задание 3.Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

3.1. , .	3.2. , .
3.3. , .	3.4. , .
3.5. , .	3.6. , .

Задание 4.Найти точки перегиба и характер выпуклости графика функции:

4.1.	4.2. .	4.3. .
4.4. .	4.5. .	4.6. .

Задание 5.Найти уравнение асимптот кривых:

5.1. .	5.2. .	5.3. .
5.4. .	5.5. .	5.6. .

Задание 6.Исследовать функции и построить их графики:

6.1. .	6.2. .	6.3. .
6.4. .	6.5. .	6.6. .
6.7. .	6.8. .	6.9. .
6.10. .	6.11. .	6.12. .
6.13. .	6.14. .	6.15. .
6.16. .	6.17. .	6.18. .

Тема 13. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Определение 13.1.Функция  называется первообразной функции  на некотором интервале, если для любого  из этого интервала выполняется равенство

.

Любая непрерывная функция  имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Определение 13.2.Совокупность всех первообразных , где  − произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом и обозначается следующим образом: .Здесь  называется подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением,  – переменной интегрирования.

    Определение 13.3.Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:                            .

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральной функции:                         .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

5. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций:

.

6. Инвариантность неопределенного интеграла: формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, явялется ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную, т.е. если  и  – произвольная функция, имеющая непрерывную производную, то .

Таблица интегралов.

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12. .
13. .	14. .
15. .	16. .

Метод непосредственного интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования основан на приведении вычисляемого интеграла к одному из табличных интегралов путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения основных свойств неопределенного интеграла. 

Примеры 13.Вычислить интегралы:

1) .

Решение: Разделим почленно числитель на знаменатель. В результате подынтегральная функция разложится на слагаемые, каждое из которых можно проинтегрировать, используя основные свойства неопределенного интеграла:

2) .

Решение: Выделим целую часть в подынтегральной дроби путем прибавления и вычитания в числителе числа 4, в результате получим

3) .

Решение: Раскроем квадрат разности в подынтегральной функции и проинтегри­руем каждое слагаемое, имеем

.

4) .

Решение: В данном примере воспользуемся известной тригонометрической формулой

.

В результате получим

.

5) .

Решение: Воспользуемся свойством 6 неопределенного интеграла, где , имеем

.