Задания для самостоятельной работыпо теме

«Приложения дифференциального исчисления».

Задание 1.Найти приближенное значение:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .

Задание 2.Вывести приближенную формулу (при условии, что  мало по сравнению с ): .

Задание 3.Используя теорему Ролля, доказать, что для многочлена  на интервале  найдется корень уравнения .

Задание 4.Получить разложение основных элементарных функций в окрестности точки 0:

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

Задание 5.Используя разложение соответствующей функции из задания 4, вычислить приближенное значение с точностью до 0,001:

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

Задание 6.Вычислить пределы следующих функций, используя правило Лопиталя:

6.1. .	6.2. .	6.3. .
6.4.	6.5. .	6.6. .
6.7.	6.8. .	6.9. .
6.10.	6.11. .	6.12. .
6.13.	6.14. .	6.15. .
6.16. .	6.17. .	6.18. .

Тема 12. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ.

Возрастание и убывание функции.

Определение 12.1.Функция  называется монотонно возрастающей на интервале , если для любых  из этого интервала выполнено условие

 при

Определение 12.2.Функция  называется монотонно убывающей на интервале , если для любых  из этого интервала выполнено условие

 при

Перечисленные выше условия называются условиями монотонности в широком смысле. Если в них знак равенства исключен, то функция  называется строго монотонной.

Теорема 12.1.Дифференцируемая функция  является монотонно возрастающей на интервале  тогда и только тогда, когда

 при

и является монотонно убывающей, если

 при

Пример 12.1. Найти интервалы монотонности функции .

Решение: Вычисляем производную: . Очевидно, при  и  при , т.е. функция убывает на интервале и возрастает на интервале .

Экстремумы функции.

Определение 12.3.Точка  называется точкой максимумафунк­ции , если в некоторой окрестности этой точкивыполняется неравенство .

Определение 12.4.Точка называется точкой минимумафункции , если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство .

Значения функции  в точках и  называются соответственно максимумом и минимумом этой функции, объединяемые общим названием экстремумы функции.

Необходимое условие существования экстремума. Для того чтобы функция  имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала.

Определение 12.5.Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума и которые входят в область определения функции, называются критическими.

Достаточное условие экстремума. Если при переходе через точку  производная дифференцируемой функции  меняет свой знак с «плюса» на «минус», то точка есть точка максимума функции , а если с «минуса»на «плюс»– то точка минимума. Если изменения знака производной не происходит, то экстремума нет.

Схема исследования функции  на экстремум:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых производная =0 или не существует.

3. Исследовать изменение знака производной при переходе через критическую точку. Сделать вывод о наличии экстремума.

4. Найти экстремумы функции (значения функции в точках экстремума).

Пример 12.2. Определить точки экстремума функции .

Решение: 

1. Найдем производную заданной функции:

.

2. Найдем точки, в которых

производная равна нулю – =0: при  и ;

производная не существует – таких точек нет.

Значит, критическими являются точки  и .

3. Исследуем изменение знака производной при переходе через критическиеточки:

при , при ,при .

Таким образом,  – точка максимума, а –  максимум функции.