Интегрирование неправильных рациональных дробей.

Для нахождения интеграла от неправильной рациональной дроби следует выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде

где  − многочлен (целая часть при делении);  − остаток от деления. Очевидно, что второе слагаемое есть уже правильная рациональная дробь.

Примеры 17.Вычислить интегралы:

1) .

Решение:Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, т.е.

.

Приводя дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравнивая после этого числители правой и левой частей, получим

.

Полагая в полученном тождестве , имеем .

Полагая , имеем .

Таким образом, искомый интеграл

.

2) .

Решение: Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Разлагая ее на сумму простейших дробей, получим

.

Приведем правую часть полученного соотношения к общему знаменателю:

.

Для нахождения неопределенных коэффициентов будем комбинировать два вышеизложенных способа.

Полагая , получим .

При  имеем .

Для определения коэффициента приравняем коэффициенты при в обеих частях тождества: , откуда .

В результате находим искомый интеграл:

.

3) .

Решение: Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей.

.

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем

.

Полагая , находим : .

Коэффициенты  найдем, приравнивая коэффициенты при ,  и свободные члены в тождестве:

при :                  ;

при :      ;

при :    .

Решив полученную систему, получим , , .

Следовательно,

.

В последнем интеграле квадратный трехчлен  не имеет действительных корней. Для его вычисления выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе.

.

Тогда

.

Таким образом, имеем

.

4) .

Решение: Квадратный трехчлен  не имеет действительных корней. Поэтому подынтегральная дробь раскладывается на слагаемые следующим образом:

.

Следовательно,

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

при :                     ;

при :            ;

при :     ;

при :            .

Решив полученную систему, получим , , , . Следовательно,

.

Для нахождения последнего интеграла воспользуемся ранее указанной рекуррентной формулой:

.

Итак, находим искомый интеграл:

.

5) .

Решение: Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделяя целую часть, получим

.

Следовательно,

.

Первый интеграл интегрируется непосредственно

Во втором интеграле замечая, что , разложим правильную рациональную дробь

на простейшие дроби:

.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем

.

Полагая  и , находим  и .

Для нахождения коэффициента  приравняем коэффициенты при  в тождестве. Получим .

Поэтому

.

Наконец, находим искомый интеграл

.

Задания для самостоятельной работы по теме

«Интегрирование рациональных дробей».

Задание. Найти интегралы от рациональных дробей:

17.1. .	17.2. .	17.3.
17.4. .	17.5. .	17.6. .
17.7. .	17.8. .	17.9.
17.10. .	17.11.	17.12. .

Тема18. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.