Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения с осями координат.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

7. Найти асимптоты графика функции.

8. При необходимости найти некоторые дополнительные точки, уточняющие график функции.

9. Построить график на основе проведенного исследования.

Пример 12.2. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение:

1. Найдем область определения функции.

Данная функция имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля:

; ; .

Таким образом, областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме , т.е. .

2. Исследуем функцию на четность – нечетность.

Поскольку , то функция четная, а ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Исследуем функцию на периодичность.

Данная функция не является периодической.

4. Найдем точки пересечения с осями координат.

Точка пересечения с осью ординат– : .

Точка пересечения с осью абсцисс– : . Это уравнение на области определения решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции.

· Найдем производную заданной функции:

· Найдем точки, в которых

производная равна нулю – =0: при ;

производная не существует: при .

Однако критической является только точка , так как значения  не входят в область определения функции.

· Исследуем изменение знака производной при переходе через критическую точку:

при ,при .

Таким образом,  – точка минимума, а  – минимум функции; на интервалах  и  функция убывает, на интервалах и функция возрастает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

· Найдем вторую производную заданной функции:

.

· Найдем точки, в которых

вторая производная равна нулю – =0: – это уравнение на области определения решений не имеет;

вторая производная не существует: при .

Критических точек на перегиб нет, так как значения  не входят в область определения функции.

· Исследуем изменение знака второй производной:

на интервалах  и ,на интервале .

Таким образом, точек перегиба нет; на интервалах  и график функции выпуклый, а на интервале – вогнутый.

7. Найдем асимптоты.

· Исследуем поведение функции вблизи точек разрыва :

, следовательно, прямая  есть вертикальная асимптота. В силу симметричности графика функции  также вертикальная асимптота.

· Выясним поведение функции на бесконечности:

.

Таким образом, прямая  – горизонтальная асимптота.

· Найдем наклонную асимптоту.

.

Таким образом, наклонных асимптот нет.

9. График функции изображен на рисунке 12.1.

Рис. 12.1.График функции .