Задания для самостоятельной работыпо теме

«Первообразная функции. Неопределенный интеграл».

Задание. Методом непосредственного интегрирования найти следующие интегралы:

13.1. .	13.2. .	13.3. .
13.4.	13.5. .	13.6. .
13.7. .	13.8. .	13.9. .
13.10. .	13.11. .	13.12. .
13.13. .	13.14.	13.15. .
13.16. .	13.17. .	13.18. .
13.19. .	13.20. .	13.21. .
13.22. .	13.23. .	13.24. .

Тема14. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ.

Замена переменной и подведение под знак дифференциала.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух типов:

1) , где  − новая переменная;  − непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной имеет вид

.

Функцию  стараются выбрать таким образом, чтобы правая часть формулы приобрела более удобный для интегрирования вид.

2) , где  − новая переменная. Тогда формула замены переменной приобретает вид

.

Такого рода преобразование называют подведением под знак дифференциала.

Примеры 14.Вычислить интегралы:

1) .

Решение: Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет стоять аргумент  подынтегральной функции . Так как , то

.

2) .

Решение: Так как , то

.

3) .

Решение: Замечаем, что . Тогда

.

4) .

Решение: Поскольку , имеем

.

5) .

Решение: Применим подстановку , тогда

.

6) .

Решение: Используем подстановку . Следовательно, получим

Задания для самостоятельной работы по теме

«Интегрирование методом подстановки».

Задание. Методом подстановки найти следующие интегралы:

14.1. .	14.2. .	14.3. .
14.4. .	14.5. .	14.6. .
14.7. .	14.8. .	14.9. .
14.10. .	14.11. .	14.12. .
14.13. .	14.14. .	14.15. .
14.16. .	14.17. .	14.18. .
14.19. .	14.20. .	14.21. .
14.22. .	14.23. .	14.24. .
14.25. .	14.26. .	14.27. .
14.28.	14.29. .	14.30. .
14.31. .	14.32. .	14.33. .

Тема15.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ.

Формула интегрирования по частям.

Если  и  − дифференцируемые функции, то справедливо

.

Данная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла  к вычислению интеграла , который оказывается более простым.

При нахождении интегралов типа

, ,

за  следует принять многочлен , а за  − соответственно выражения , , ; при отыскании интегралов вида

, , ,

,

за  принимаются соответственно функции , , , , , а за  − выражение .

Примеры 15.Вычислить интегралы:

1) .

Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

2) .

Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

3) .      

Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

4) .

Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям, получим:

.

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям:

.

Подставляя найденное выражение в первоначальное выражение, имеем

.

5) .

Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

Последний интеграл сновапроинтегрируем раз по частям:

.

Таким образом,

.

В правой части последнего соотношения стоит искомый интеграл . Перенося его в левую часть, получим

.

Откуда

.

Задания для самостоятельной работы по теме

«Интегрирование по частям».

Задание. Проинтегрировать по частям следующие интегралы:

15.1. .	15.2. .	15.3. .
15.4. .	15.5. .	15.6. .
15.7. .	15.8. .	15.9. .
15.10. .	15.11. .	15.12. .
15.13. .	15.14. .	15.15.

Тема16. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.