Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Определение 12.6.Гладкая кривая вогнутав точке , если существует окрестность этой точки , в которой кривая расположена выше касательной, проведенной в этой точке.

Определение 12.7.Гладкая кривая выпуклав точке , если существует окрестность этой точки , в которой кривая расположена ниже касательной, проведенной в этой точке.

Определение 12.8.Точка графика функции , при переходе через которую график меняет выпуклость на вогнутость и наоборот, называется точкой перегиба.

Теорема 12.2.Кривая вогнута на интервале , если в каждой точке этого интервала выполнено условие

 при

и выпукла, если

 при

Схема исследования функции  на выпуклость и вогнутость и наличие точек перегиба:

1. Найти вторую производную от данной функции .

2. Найти критические точки на перегиб, в которых вторая производная или не существует.

3. Найти знаки второй производной. Определить интервалы выпуклости и вогнутости.

4. Сделать вывод о наличии точек перегиба.

Пример 12.3.Найти точки перегиба функции .

Решение: 

1. Найдем первую и вторую производные заданной функции:

,

.

2. Найдем точки, в которых

вторая производная равна нулю– :

 при ,  и ;

вторая производная не существует – таких точек нет.

Значит, критические точки на перегиб: ,  и .

3. Исследуем изменение знака второй производной:

на интервале ,на интервалах ,  и .

Таким образом, точки  и – точки перегиба.

Асимптоты графика функции.

Определение 12.9.Прямая линия называется асимптотойграфика функции , если расстояние от точки, лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.

Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонталь­ные и наклонные.

Определение 12.10.Прямая  называется вертикальной асимптотойграфика функции , если хотя бы одно из предельных значении  или  равно +  или .

Определение 12.11.Прямая называется горизонтальной асимптотойграфи­ка функции , если .

Определение 12.12.Прямая  ( ) называется наклонной асимптотой графика функции , если существуют два предела:

 и .

Пример 12.4. Найти уравнения асимптот кривой .

Решение: 

1. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва : , следовательно, прямая есть вертикальная асимптота.

2.Выясним поведение функции на бесконечности: .Таким образом, прямая – горизонтальная асимптота.

3. Выясним, существует ли наклонная асимптота:

.

Таким образом, наклонных асимптот нет.