Производные высших порядков.

Производная дифференцируемой функции , которую называютпроизводной первого порядка, представляет собой некоторую новую функцию. Может оказаться так, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второгo порядка (или второй производной)и обозначается следующим образом:  или . Аналогично, если существует производная от производной второго порядка, она называется производной третьего порядка (или третьей производной)и обозначается так:  или  и т.д.

Определение 10.1.Производная от производной -гопорядка называется производной -го порядкаи обозначается .

Определение 10.2.Функция называется непрерывно дифференцируемой n раз, если существуют все ее производные до -гопорядка включительно и эти производные непрерывны.

Пример 10.1. Вычислить производную второго порядка от функции .

Решение: Сначала найдем первую производную: . Вторая производная определяется как производной от первой производной, следовательно .

Замечание 10.1.Для нахождения второй производной функции , заданной параметрически

используют следующую формулу:

,где .

Пример 10.2. Найти вторую производную функции, заданной параметрически

Решение: Первая производная заданной функции (см. пример 8.8):

.

Тогда

.

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциал функции  является функцией от :

поэтому можно говорить о дифференциале уже этой новой функции.Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциаломвторого порядка (или вторым дифференциалом)этой функции и обозначается следующим образом  и т.д.

Определение 10.3.Дифференциалом -го порядка называется дифференциал от дифференциала -го порядка, т.е.

.

Пример 10.3. Найти дифференциал второго порядка от функции .

Решение: Вторая производная заданной функции (см. пример 10.1): .Тогда второй дифференциал, по определению, равен .

Задания для самостоятельной работыпо теме

«Производные и дифференциалы высших порядков».

Задание 1.Найти производные и дифференциалы указанного порядка:

1.1. , второй порядок.	1.2. , второй порядок.
1.3. , второй порядок.	1.4. , третий порядок.
1.5. , четвертый порядок.	1.6. , третий порядок.

Задание 2.Найти производные и дифференциалы -го порядка:

2.1. .	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5. .	2.6. .

Задание 3.Найти производные и дифференциалы второго порядка:

3.1. .	3.2. .	3.3. .
3.4. .	3.5. .	3.6. .
3.7. .	3.8. .	3.9. .
3.10. .	3.11. .	3.12. .
3.13. .	3.14. .	3.15. .
3.16.	3.17.	3.18.

Задание 4.Точка движется попрямой, причем расстояние точки от начала отсчета, измеряемое в метрах, определяется по формуле , где  – время, измеряемое в секундах. Определить ускорение движения точки в конце второй секунды.

Задание 5.Точка массы совершает гармоническое колебание около положения равновесияО по закону , где  – расстояние точки от О в момент времени t;  – постоянные. Показать, что действующая сила пропорциональна расстоянию точки от О.

Тема 11. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Определение 11.1.Дифференциал  функции  и ее приращение  связаны соотношением

где  при .

Поэтому при малых  ( ) имеет место следующее приближенное равенство:

или

Это соотношение часто используется в приближенных вычислениях.

Пример 11.1. Найти приближенное значение .

Решение: В данном случае , .

1)

2)