Задания для самостоятельной работыпо теме

«Производная функции».

Задание 1.Используя определение производной, доказать справедливость следующих формул:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .
1.10. .	1.11. .	1.12. .
1.13. .	1.14. .	1.15. .

Задание 2.Найти производные следующих простых функций:

2.1.	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5. .	2.6. .
2.7. .	2.8. .	2.9. .
2.10. .	2.11. .	2.12. .
2.13. .	2.14. .	2.15. .
2.16. .	2.17. .	2.18. .

Задание 3.Найти производные следующих сложных функций:

3.1. .	3.2. .	3.3. .
3.4. .	3.5. .	3.6. .
3.7. .	3.8. .	3.9. .
3.10.	3.11. .	3.12. .
3.13. .	3.14. .	3.15. .
3.16. .	3.17. .	3.18.

Задание 4.Найти производные функций, заданных неявно и параметрически:

4.1. .	4.2. .	4.3. .
4.4. .	4.5. .	4.6. .
4.7. .	4.8. .	4.9. .
4.10.	4.11.	4.12.
4.13.	4.14.	4.15.
4.16.	4.17.	4.18.

Задание 5.Найти значение производной функции в данной точке:

5.1 в точке .	5.2. в точке .
5.3. в точке .	5.4. в точке .
5.5.  в точке .	5.6.  в точке .

Задание 6.Найти уравнение касательной к кривой в точке M:

6.1. , .	6.2. , .
6.3. , .	6.4. , .
6.5. M при .	6.6. M при .

Задание 7.Найти уравнение нормали к кривой в точке M:

7.1. , .	7.2. , .
7.3. , .	7.4. , .
7.5. , Mпри .	7.6. M при .

Задание 8.Определить угол, под которым кривая пересекает ось абсцисс:

8.1. .	8.2. .	8.3. .
8.4. .	8.5. .	8.6. .

Задание 9.Точка движется попрямой, причем расстояние точки от начала отсчёта, измеряемое в метрах, определяется по формуле , где  – время, измеряемое в секундах. Определить скорость движения точки в конце третьей секунды.

Задание 10. Путь, проходимый телом, свободно падающим в пустоте, определяется по формуле . При этом предполагается, что в начальный момент времени тело находится в начале отсчета и начальная скорость равна нулю; g – ускорение свободного падения. Вывести закон изменения скорости свободно падающего тела.

Задание 11.Радиус шара возрастает равномерно со скоростю 10 см/с. С какой скоростью растет объем шара в момент, когда радиус его составит 100 см?

Задание 12.На кривой  найти точку, в которой ордината возрастает в четыре раза быстрее, чем абсцисса.

Задание 13.При каком значении xордината кривой  будет возрастать в четыре раза быстрее, чем ордината кривой ?

Тема 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

Понятие дифференциала.

Определение 9.1.Дифференциалом  функции  называется произведение производной этой функции на приращение независимого переменного, т.е

.

Поскольку дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением ( ), то

.

Таким образом, для того чтобы найти дифференциал функции, необходимо умножить производную этой функции на дифференциал ее независимой переменной.

Основные правила нахождения дифференциалов.

1) Дифференциал суммы (разности) двух дифференцируемых функций равен сумме (разности) дифференциалов этих функций:

.

2) Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений дифференциала первого сомножителя на второй и дифференциала второго сомножителя на первый:

.

3) Дифференциал частного двух дифференцируемых функций может быть найден по формуле:

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

.

Пример 9.1. Найти дифференциал функции

а) по определению;

б) используя правила нахождения дифференциала.

Решение:

а)Находим производную от заданной функции:

.

Тогда по определению дифференциала: .

б) Находим непосредственно дифференциал, используя правила нахождения дифференциалов (1 и 4):

.

Задания для самостоятельной работыпо теме

«Дифференциал функции».

Задание 1.Найти дифференциалы следующих функций по определению:

1.1. .	1.2. .	1.3. .
1.4. .	1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .	1.9. .
1.10. .	1.11. .	1.12. .
1.13. .	1.14. .	1.15. .
1.16.	1.17.	1.18.

Задание 2.Найти дифференциалы следующих функций, используя правила нахождения дифференциала:

2.1. .	2.2. .	2.3. .
2.4. .	2.5.	2.6. .
2.7. .	2.8. .	2.9. .
2.10. .	2.11. .	2.12. .
2.13. .	2.14. .	2.15. .

Тема 10. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.