Производная функции, заданной параметрически.

Определение 8.6.Переменная ,как функция аргумента , задана параметрически, если обе переменные  и заданы как функции некоторой третьей переменной  (параметр), т.е.

Предполагаем, что обе функции  и  дифференцируемы по параметру в рассматриваемом промежутке изменения этого параметра.

Для нахождения производной функции , заданной параметрически, используют формулу:

.

Пример 8.8. Найти производную функции, заданной параметрически .

Решение: Дифференцируем каждую функцию  и  по переменной :

, ,

откуда

.

Геометрический и физический смысл производной функции.

Геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной к кривой  в точке с абсциссой  равен производной функции в этой точке, т.е.

.

Уравнение касательной к кривой  в точке касания  имеет вид:

.

Определение 8.7.Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой в данной точке.

Уравнение нормали к кривой  в точке касания имеет вид:

.

Пример 8.9. Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение: Для того чтобы найти угловой коэффициент касательной,  необходимо вычислить производную от заданной функции:

Значение производной в заданной точке Mи определяет искомый угловой коэффициент:

Уравнение касательной:  или .

Уравнение нормали:  или .

Физический смысл производной. Значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимого переменного, в частности, скорость прямолинейного движения есть производная от пути по времени , т.е.

,

а ускорение  есть производная от скорости, т.е.

,

или вторая производная от пути, т.е.

.

Пример 8.10. Точка движется попрямой, причем расстояние точки от начала отсчета, измеряемое в метрах, определяется по формуле , где  – время, измеряемое в секундах. Определить скорость движения точки в конце пятой секунды.

Решение: Используя физический смысл производной, находим, что скорость движения в любой момент времени определяется формулой а скорость движения в конце пятой секунды (м/с).