Основные правила дифференцирования.

1) Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

.

2) Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый:

.

3) Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Таблица производных.

1. .	2. .
3.	4. .
5.	6.
7.	8. .
9. .	10.
11.	12.
13. .	14. .
15. .	16. .

Пример 8.2. Найти производную функции .

Решение: Используя правила дифференцирования (1 и 4) и таблицу производных, находим, что

.

Пример 8.3. Найти производную функции .

Решение: Используя правило дифференцирования (2) и таблицу производных, находим, что

.

Пример 8.4. Найти производную функции .

Решение: Используя правило дифференцирования (3) и таблицу производных, находим, что

Производная сложной функции.

Пусть есть функция от переменной  ( ), а переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной  ( ), т.е. задана сложная функция . Функция  является внешней функцией, а функция  – внутренней.

Теорема 8.1.Если и  – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной внешней функции на производную внутренней (или внутренних) функции, т.е.

.

Пример 8.5. Найти производную функции .

Решение: Исходную функцию можно представить в виде , где . Тогда, согласно теореме 8.1 о производной сложной функции, будем иметь:

1) ;

2) ;

3) .

Следовательно, .

Логарифмическое дифференцирование.

Определение 8.4.Логарифмическое дифференцирование – это метод отыскания производной заданной функции путем предварительного ее логарифмирования.

Замечание 8.1.Этот метод широко используется для нахождения производной от фукции вида , где и  – функции аргумента . Действительно, логарифмируя обе части исходного равенства, получаем

.

Дифференцируя последнее соотношение, имеем

.

Умножая обе части этого равенства на и заменяя затем  через , после простых преобразований окончательно получаем, что

.

Пример 8.6. Найти производную функции .

Решение: Применим метод логарифмического дифференцирования:

Производная неявной функции.

Определение 8.5.Если  как функция от  задается посредством соотношения

,

где – выражение, содержащее и , то  называется неявной функциейот .

Для нахождения производной функции , заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая как функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную .

Пример 8.7. Найти производную функции , которая задана уравнением .

Решение: Дифференцируем обе части равенства, рассматривая как функцию от :

.

Решаем полученное уравнение относительно :

; ; .