Основные теоремы о непрерывных функциях.

1.Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

2. Если функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке , то сложная функция  также непрерывна в точке .

3. Если функция  непрерывна и строго монотонна на  оси , то обратная функция  также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке  оси .

4. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. I теорема Больцано-Коши:Если функция  непрерывна на отрезке  и на концах отрезка имеет значения разных знаков, то существует хотя бы одна точка , в которой данная функция обращается в нуль: .

2. II теорема Больцано-Коши:Если функция  непрерывна на отрезке  и принимает на его концах значения  и ( ), то найдется хотя бы одна внутренняя точка , что для любого числа  выполняется равенство .

3. I теорема Вейерштрасса: Если функция  непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

4. II теорема Вейерштрасса: Если функция  непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Задания для самостоятельной работыпо теме

«Непрерывность функции».

Задание 1.Пользуясь определением, доказать непрерывность функции  в каждой точке :

1.1. .

1.2. .

1.3. .

Задание 2.Доказать, что функция  не является непрерывной в определенной точке . Построить график функции .

2.1.	2.2.
2.3.	2.4.

Задание 3. Исследовать на непрерывность и построить график функции . Найти скачок функции в точках разрыва.

3.1.	3.2.
3.3.	3.4.
3.5.	3.6.

Задание 4.Исследовать на непрерывностьфункцию  в точке :                                                                                                                                                                                                                                                                        

4.1. .	4.2. .
4.3. .	4.4. .
4.5. .	4.6. .

Задание 5.Найти все точки разрыва данной функции :

5.1. .	5.2. .	5.3. .
5.4. .	5.5. .	5.6. .

Задание 6. Исследовать на непрерывность функцию  на отрезке , если:

6.1. .

6.2. .

6.3. .

Задание 7.Исследовать на непрерывность функцию  на отрезках ,  и , если:

7.1. .

7.2. .

7.3. .

Задание 8. При каком значении параметра  функция  будет непрерывной:

8.1.	8.2.
8.3.	8.4.

Тема 8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

Понятие производной.

Пусть функция  определена на интервале . Выберем произвольную точку  из этого интервала и зададим значению  приращение . Тогда функция получит соответствующее ему приращение .

Определение 8.1. Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует), т.е.

.

Производная функции имеет несколько обозначений: .

Пример 8.1.Используя определение, доказать, что .

Решение: Найдем приращение функции  в точке :

.

Тогда , где при  (попервому замечательному пределу),  (из-за непрерывности функции ). Таким образом, .

Определение 8.2.Операция отыскания производной данной функции называется дифференцированием этой функции.

Определение 8.3.Функция, имеющая в точке  производную, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.