Нормализация СП узкополосными системами

Для анализа статистических свойств СП на выходе линейной системы важно знать закон распределения случайной (шумовой) составляющей выходного сигнала, который в общем случае не совпадает с законом распределения этой составляющей на входе системы. С этой целью удобно воспользоваться методом интеграла наложения для представления выходного сигнала  через отсчеты входного сигнала  и импульсной характеристики системы :

,                            (5.1)

или в дискретном виде:

,               (5.2)

где  – временной шаг дискретизации входного сигнала,  – номера отсчетов входного сигнала,  – число отсчетов входного сигнала.

Из теории линейных электрических цепей известно, что со временем импульсная характеристика убывает до нуля. Если выполняется условие, при котором шаг дискретизации входного сигнала  много меньше постоянной времени системы :

,                                    (5.3)

то каждый отсчет выходного сигнала представляет собой сумму достаточно большого числа слагаемых.

Возможны три варианта сигнала на входе системы:

- гауссовский случайный процесс со временем корреляции ;

- случайный процесс с произвольным законом распределения и временем корреляции ;

- случайный процесс с произвольным законом распределения и временем корреляции, не удовлетворяющим условию .

В первом случае, в соответствие с выражением (5.2), СП на выходе линейной системы представляет собой сумму гауссовских СП, умноженных на постоянные величины вида . Из теории вероятностей известно, что такая сумма также представляет собой гауссовский СП.

Во втором случае СП на выходе линейной системы представляет собой сумму одинаково распределенных СП, умноженных на постоянные величины вида , число которых достаточно велико. В этом случае выполняются условия центральной предельной теоремы, согласно которой закон распределения такой суммы неограниченно приближается к нормальному закону при увеличении числа слагаемых, если среди них отсутствуют доминирующие по значению величины. Таким образом, СП на выходе линейной системы будет гауссовским.

В третьем случае закон распределения СП на выходе линейной системы зависит от закона распределения СП на входе системы и импульсной характеристики самой системы.

Условие (5.3) может быть переписано в несколько ином виде, если воспользоваться связями временных и частотных параметров линейной системы и СП, а именно:

 и ,                                 (5.4)

где  – эффективная ширина энергетического спектра СП на входе линейной системы, а  – ширина полосы пропускания линейной системы. Тогда условие (5.3) принимает вид:

.                                         (5.5)

Таким образом, свойство нормализации СП при прохождении через линейные системы сводится к следующему: если линейная система является узкополосной по отношению к СП на ее входе, то закон распределения СП на выходе системы тем ближе к гауссовскому, чем сильнее выполняется свойство узкополосности (5.5) вне зависимости от статистики входного СП.