Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Ÿ Уравнение вида

решается последовательным двукратным интегрированием правой части.

Пример 22  Решить уравнения:

а) ; б) .

Решение:

а) Последовательно интегрируя получим:

; ; ;

_.

б) ; .

Ÿ Уравнение вида

не содержит явным образом искомой функции .

Решается заменой ,

тогда: .

Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции  от . Проинтегрировав это уравнение, найдём его общее решение:

,

а затем из соотношения  получим общий интеграл исходного уравнения:

.

Пример 23  Решить уравнение .

Решение:

Положим , тогда  и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции  от :

.

Разделим уравнение на , получим

линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Подставим функцию  в виде , тогда

.

Подставляя их в уравнение получим:

.

Далее .

1) ; ; ; .

2)  или ,

 или ;

.

Ÿ Уравнение вида

,

не содержит явным образом переменную ,

решается заменой , тогда .

Пример 24  Решить уравнение .

Решение:

В уравнение не входит . Полагая , тогда

.

Подставляя в уравнение, получим:

 или ,

откуда

; ;

интегрируя, получим

; ;

так как , то

; .

Итак, общее решение:

.