Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n^-го порядка называется выражение вида:

   или ,

то есть, уравнение, содержащее неизвестную функцию  и её производные до n^-го порядка.

Так, например:

1) , или  - это дифференциальное уравнение первого порядка;

2)  - дифференциальное уравнение второго порядка.

Из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок равен порядку старшей производной, содержащейся в нём.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция

,

которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Пример 16  Проверить (самостоятельно), будут ли функции

; ; ;

решениями дифференциального уравнения

.

Решение:

Рассмотрим уравнения первого порядка.

                                      (1)

имеет место следующая

Теорема Коши

Если функция  определена и непрерывна в области  вместе со своей частной производной , то для всякой точки , принадлежащей области , в некоторой её окрестности, существует единственное решение , удовлетворяющее начальному условию при

.                                              (2)

Условия (2) называются начальными условиями.

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку M₀ области  проходит единственная интегральная кривая.

Задачей Коши называют задачу о нахождении решения дифференциального уравнения

,                                     (1)

удовлетворяющее начальным условиям

.                                                   (2)

Вышеприведённую теорему называют теоремой о существовании и единственности решения задачи Коши.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называют функцию  такую, что

1) при любом  она является решением дифференциального уравнения (1);

2) каковы бы ни были начальные условия (2), всегда можно найти такое , что  удовлетворяет начальным условиям (2).

Частным решение называется решение, полученное из общего при конкретном значении .