Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Определённый интеграл, его свойства
Пусть на отрезке задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения , .
Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек , то этот предел будем называть определённым интегралом функции f(x) на отрезке и обозначать символом т.е. Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма – интегральной суммой. Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке. Свойства определённого интеграла 1. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла: 3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:
4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный: 5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям: где a<c<b. 6. Теорема об оценке интеграла Если для , тогда значения интеграла от этой функции не менее произведения m на длину отрезка и не более произведения M на длину отрезка.
7. Теорема о среднем значении Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует такое значение , что f(x0)=fср – среднее значение f на отрезке.
Теорема Ньютона-Лейбница Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
При вычислении интегралов ее часто записывают в виде
Например, = Замена переменной в определённом интеграле Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке , функция имеет на отрезке непрерывную производную, при этом и Тогда
Пример 9. Найдём Решение: Воспользуемся подстановкой x=sint; тогда . Найдём новые пределы интегрирования: если х=0, то t=0, если х=1, то . Получим .
Интегрирование по частям Пусть u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые на функции. Тогда справедлива формула или
Пример 10. Найти Решение: Положим u=x, откуда Согласно формуле находим Геометрические приложения определённого интеграла |
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 238. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |