Вычисления площадей плоских фигур

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x)  на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

Замечания:

1. Если же  на , то – f(х)  на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

или

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок  надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=j₂(y), слева – графиком функции x₁=j₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

Пример 11.  Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции  y = sinx и осью абсцисс при условии .

Решение:

Разобьём отрезок  на два отрезка:  и . На первом из них sinx , на втором sinx . Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

Вычисление объёмов

Если тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x) ( ), осью Ох и прямыми x=a, x=b (a<b), то

 или

Вокруг Оу:

Пример 12  Найти объем тела, полученного вращением y=tgx вокруг оси Ox, .

Решение:

.

Несобственные интегралы

При введении понятия определённого интеграла мы предполагали, что подынтегральная функция является ограниченной, а пределы интегрирования – конечными. Такой интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция f(x) непрерывна при < , т.е. при  Тогда по определению полагают

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл

сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся.

Геометрически для неотрицательной при  функции f(x) несобственный интеграл по аналогии с собственным интегралом представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева отрезком прямой x=a и снизу осью Ox.

 

 

Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:

а)  т.е. данный несобственный интеграл сходится.

б)  т.е. данный интеграл расходится.

в) Установим, при каких значениях  интеграл   сходится.

Случай  был рассмотрен в примере б). Если  то

.

Значит, данный интеграл сходится при >1 и расходится при   

Аналогично определяются следующие несобственные интегралы

  

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒