Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Интегралы от неограниченных функций
Пусть функция f(x) непрерывна при <b. Пусть эта функция стремится к бесконечности, когда (т.е. на отрезке функция f(x) не ограничена). Положим Если этот предел существует, то говорят, что интеграл сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся. Подобным же образом равенство даёт определение интеграла от функции f(x), стремящейся к бесконечности при Наконец, если функция f(x) стремится к бесконечности при приближении аргумента к обоим концам промежутка , то полагают a<c<b. Если при этом сходятся оба интеграла в правой части последнего равенства, то сходится и интеграл слева. Пример 14 , т.е. расходится.
Понятие двойного интеграла Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y) или z=f(M), определённую и непрерывную в замкнутой ограниченной области D плоскости Oxy; .
Разобьем область D произвольным образом на элементарные участки , площади которых также обозначим , а диаметры обозначим d. Выберем произвольно точку . Интегральной суммой для функции по области называется: . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , то он называется двойным интегралом от функции f(M) по области D, обозначают: Замечание: Предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные участки , ни от выбора точек . Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом.
Для непрерывной функции двойной интеграл по области равен повторному интегралу: (1) или (2) Повторные интегралы (1) и (2) отличаются друг от друга порядком интегрирования по переменным и . Применение формулы (1) или (2) зависит от конфигурации области . Формула (1) применяется в тех случаях, когда область ограничена снизу и сверху соответственно кривыми и , а слева и справа прямыми , причем всюду на функции и непрерывны и . Примеры таких областей приведены на рисунке. Формулу (2) применяют в тех случаях, когда область ограничена слева и справа соответственно кривыми и . Снизу и сверху - прямыми . Причем всюду на функции непрерывны . На рисунке изображены примеры таких областей. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов по формулам (1) или (2). При применении формулы (1) сначала вычисляют внутренний интеграл при постоянном , полученная функция от интегрируется в пределах от до . Если применяют формулу (2), то сначала вычисляют внутренний интеграл при постоянном ; затем полученная функция от интегрируется на отрезке . Покажем, как вычисляется двойной интеграл в декартовой системе координат. Пример 15 Вычислить где область ограничена линиями . Решение: Построим область : уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси , с вершиной в начале координат. Уравнение есть уравнение прямой. Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой, для этого решим систему уравнений: Решая второе уравнение, найдем - ординаты точек пересечения параболы и прямой. Таким образом, область ограничена слева параболой: , справа прямой , снизу н сверху соответственно прямыми и . Применяя формулу (2), запишем исходный двойной интеграл в виде , Вычисляя сначала внутренний интеграл по dx , затем внешний, получим:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 229. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |