Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.

1) Уравнение с разделёнными переменными

или

.

Решая первое уравнение, получим .

Интегрируя, найдём общее решение .

Решая второе, получим .

Интегрируя, найдём общее решение.

2) Уравнение с разделяющимися переменными,

или

.

Разделим обе части первого уравнения  на  и умножим на , получим уравнение с разделёнными переменными

Для второго уравнения: разделим обе части на произведение , получим также уравнение с разделёнными переменными

.

Операция деления уравнения на произведение  называется разделением переменных.

При делении на произведение  можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения

.

Определяя из этого уравнения решения , следует проверить, является ли оно решением исходного уравнения. Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл. Если входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым.

Пример 17  Решить уравнение .

Решение:

Разделим уравнение на произведение , получим:

.

Интегрируя, получим общий интеграл:

.

В этом уравнении  имеет вид . Его решение ,  является решением исходного уравнения, но не входит в общий интеграл. Следовательно, решение ,  является особым.

Пример 18  Найти общее решение .

Решение:

;

;

интегрируя, найдем общее решение

 или ;

;

;

3) Однородные уравнения.

Функция  называется однородной степени , если для любых  и  выполняется равенство

Если функции  и  однородные одной и той же степени , то дифференциальное уравнение  называется однородным.

Однородное уравнение всегда можно привести к виду

,

решается подстановкой:

 или ; .

Пример 19  Решить .

Решение:

Данное уравнение является однородным, т.е. функции ,  однородные степени . Сделаем замену  Тогда уравнение перепишется так:

;

;

разделяя переменные, получим:

;

;

;

Так как у нас , то , , .

Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение ,

где ,  - непрерывная функция от  на интервале , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция  и её производная входят в это уравнение в первой степени – линейно.

Линейные уравнения обычно решают методом Бернулли.

Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций  и .

Пусть , тогда  или ,

и уравнение примет вид

 или .

Полученное уравнение разобьём на два таким образом:

1) Выберем функцию  так, чтобы сумма второго и третьего слагаемых обратилась в нуль:

;

2) .

Решаем первое: так как , относительно  имеем уравнение  с разделяющимися переменными:

 или

Функцию  подставим во второе уравнение:

, откуда .

.

Найдём общее решение по формуле

,

подставив найденные функции вместо , .

Пример 20  Решить уравнение .

Решение:

Положим , .

Подставляя выражения для  и  в данное уравнение получим:

1)

2) .

Решаем первое уравнение:

После разделения переменных получим . Отсюда  или .

Решаем второе уравнение:

Подставим найденное значение , получим:

.

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, находим функцию :

.

Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения:

 или

.

Уравнением Бернулли

называется уравнение вида

,

где  – любое вещественное число.

Если  равно нулю или единице, то мы получим линейное дифференциальное уравнение.

Уравнение Бернулли можно сразу решать методом Бернулли, полагая . Следует отметить, что при  функция  является решением Бернулли.

Пример 21  Решить уравнение .

Решение:

Приведём решение методом Бернулли.

Полагая

;

;

получим

1) ; ; ; .

2) Подставим найденную функцию :

; ; ; ; ;

и окончательно .