Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение -го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции  и её производных , т.е. имеет вид

,

где  и  – заданные функции  или постоянные, причём  для всех значений  из той области, в которой мы рассматриваем уравнение. В дальнейшем мы будем предполагать, что функции  - постоянные, а  непрерывна на всех значениях , причём коэффициент  (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функция , стоящая в правой части уравнения , называется правой частью уравнения.

Если , то уравнение  называется неоднороднымили уравнением с правой частью.

Если же , то уравнение имеет вид:

и называется однородным дифференциальным уравнением.

Выражение

называется линейным дифференциальным оператором от функции .

С помощью линейного дифференциального оператора дифференциальное уравнение запишется так:

.

Рассмотрим свойства, которыми обладает линейный дифференциальный оператор:

, это справедливо для любой постоянной .

.

Свойства решений однородного дифференциального уравнения:

1. Если  есть решение дифференциального уравнения , то  тоже решение уравнения , где  - произвольная постоянная.

Доказать самостоятельно.

2. Если  и  - частные решения уравнения , то  - также решения этого уравнения, где ,  - произвольные постоянные.

Доказать самостоятельно.

3. Если функции ; ; …;  - частные решения уравнения , то их линейная комбинация, т.е. , также является решением.

· Какие же условия следует наложить на функции ; ; …; , чтобы их комбинация с произвольным постоянным являлась общим решением уравнения ? Для этого введём понятие линейно независимой системы функций.

· Система функций , , …, , определённых на множестве , называется линейно зависимой, если существуют такие, не равные нулю, действительные числа , что линейная комбинация  для всех .

· Функции , , …,  называются линейно независимыми на , если из тождества

·

следует, что все  равны нулю:

.

Определителем Вронского (вронскианом)для системы функций , , …, , определённых на , называется следующий функциональны определитель го порядка:

Мы предполагаем, что функции , , …,  на множестве  непрерывны и имеют производные до порядка  включительно. Справедливы следующие утверждения:

1) Если функции , , …,  линейно зависимы на множестве , то определитель Вронского равен нулю.

2) Если решения , , …,  линейного однородного уравнения  являются линейно независимыми на множестве , где коэффициенты уравнения непрерывны, то определитель Вронского на этом множестве  нигде не обращается в нуль.

3) Если , , …,  - система из  линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения го порядка, то  есть общее решение этого уравнения.

4) Максимальное число линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения  с непрерывными на множестве  коэффициентами, равно порядку уравнения.

5) Независимо от начальных условий все другие решения уравнения  являются линейной комбинацией линейно независимых частных решений.

Таким образом, для решения линейного однородного уравнения го порядка необходимо найти  линейно независимых частных решений.

Общее решениеуравнения получится как линейная комбинация этих частных решений:

.

Назовём фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения  любые  линейно независимых частных решений .

Пример 25  Проверить, образуют ли функции  фундаментальную систему решений. Составить дифференциальное уравнение.

Решение:

Вычислим вронскиан

.

, следовательно система функций линейно независима на всей оси , и они образуют фундаментальную систему решений некоторого линейного однородного дифференциального уравнения 3^-го порядка. Общее решение имеет вид:

.

Чтобы составить дифференциальное уравнение, найдём  и исключим постоянные .

т.к.

или

преобразуя, получим однородное дифференциальное уравнение

.

Общее решение которого имеет вид

.