Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости ряда

Примеры рядов:

1)                                          

2)          

3)                       

Ряд можно задать с помощью общего члена, например,    определяет следующий ряд:

Пример 31  Исследовать на сходимость ряды

а)

б)

Решение:

а) Рассмотрим ряд . Найдем его частичные суммы  Последовательность его частичных сумм 1,0,1,0.1,0... не имеет предела, следовательно ряд расходится.

б) Рассмотрим ряд

найдем его частичные суммы:

Так как  то рассматриваемый ряд сходится: его сумма равна 1.

Пример 32  Исследовать на сходимость

Решение:

Данный ряд составлен из членов геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем (будем считать ):

,

известно, что сумма  первых n членов геометрической прогрессии определяется по формуле

Найдем , очевидно, что при , ряд сходится и его сумма . В остальных случаях, при , ряд расходится (доказать самостоятельно).

Например, ряд  сходится, т.к. q= и его сумма , а ряд  расходится, т.к. q= .

Свойства сходящихся числовых рядов

1. Два сходящихся ряда

можно почленно складывать (или вычитать),так что ряд

также сходится, и его сумма S равна, соответственно, S= .

Доказать самостоятельно

2. Если члены сходящегося ряда умножить на один и тотже множитель с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится на с).

Доказать самостоятельно

3. Данное свойство связано с понятием остатка ряда. Если в числовом ряде отбросить первые m членов, то получится ряд:

,

называемый остатком ряда. Если сходится ряд  , то сходится и любой из его остатков ; обратно, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда .

Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение вначале его нескольких новых членов не отражается на сходимости ряда.

4. Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то общий член  стремится к нулю, то есть .

Доказательство.

По условию ряд сходится, следовательно . Очевидно, что , тогда .

Отсюда следует достаточный признак расходимости:.

Если , то ряд  расходится.

Пример 33  Исследовать сходимость ряда

Решение:

Найдем предел общего члена ряда при

Следовательно, данный ряд расходится.

Замечание.

Необходимо условие сходимости ряда не является достаточным. Существует много расходящихся рядов, у которых общий член ряда стремится к нулю. Примером такого ряда служит ряд

,

который называется гармоническим.

Достаточные признаки сходимости рядов

Рассмотрим ряд  , члены которого положительны, т.е.   (n=1,2,3,…).

Признак Даламбера

Пусть для числового ряда с положительными членами:

имеет место  тогда

при D<1 ряд сходится,

при D>1 ряд расходится,

при D=1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае требуется дополнительные исследования).

Признак Коши

Пусть для числового ряда с положительными членами:

имеет место   тогда

при D<1 ряд сходится,

при D>1 ряд расходится,

при D=1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае требуется дополнительные исследования).

Пример 34  Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Применим признак Даламбера, вычислим

число D=0 <1, следовательно, ряд сходится.

Пример 35  Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

Применим признак Коши:

 – ряд расходится.