Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Рассмотрим уравнение второго порядка

,

где коэффициенты  – числа, .

Согласно теореме о структуре общего решения, оно имеет вид:

,

где  – общее решение однородного дифференциального уравнения,

 – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Вид функции  устанавливается по виду правой части дифференциального уравнения .

Сначала, как и при методе Лагранжа, находится общее решение однородного дифференциального уравнения

,

его характеристическое уравнение имеет вид

,

где  – его корни.

Затем отыскивается частное решение неоднородного уравнения  Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) пусть правая часть уравнения имеет вид

,

тогда частное решение определяется следующим образом:

, если ,

, если ,

, если ,

где А – неопределенный коэффициент, находится методом неопределенных коэффициентов (см. пример).

2) пусть правая часть имеет вид

где  – многочлен степени , тогда частное решение определяется следующим образом:

, если ,

, если ,

, если ,

где А,B,C…D – неопределенные коэффициенты, находятся методом неопределенных коэффициентов (см. пример).

В частности, если правая часть имеет вид

где  – многочлен степени , тогда частное решение определяется следующим образом:

, если ,

, если ,

, если .

3) пусть правая часть имеет вид

или

,

тогда частное решение определяется следующим образом:

, если ,

, если .

В частности, если правая часть имеет вид

или ,

тогда частное решение определяется следующим образом:

, если ,

, если .

4) пусть правая часть имеет вид

,

тогда частное решение определяется следующим образом:

,

где ; если

Пример 28  Записать вид частного решения следующих дифференциальных уравнений:

а) ;           б) ;

в) ;          г)  .

Решение:

а) .

Решаем соответствующее однородное уравнение .

Составляем характеристическое уравнение: , находим корни: ; ; .

Общее решение однородного уравнения .

Правая часть исходного уравнения имеет вид: ; ; .

Т.к. число  не является корнем характеристического уравнения, а  – многочлен первой степени, то частное решение уравнения имеет вид:

.

г) .

Решаем соответствующее однородное уравнение , находим корни .

Общее решение однородного уравнения: .

Правая часть исходного уравнения имеет вид: , отсюда , .

Т.к. число  не является корнем характеристического уравнения, а  и  – многочлены нулевой степени, то частное решение уравнения имеет следующий вид:

.

Выполнить примеры б, в самостоятельно.

Пример 29  Решить следующие дифференциальные уравнения:

а) ;            б) ;

в) .

Решение:

а) Решаем соответствующее однородное уравнение:

.

Составляем характеристическое уравнение , находим корни ; .

Общее решение однородного уравнения .

По виду правой части , находим частное решение

,

число .

Методом неопределённых коэффициентов найдём .

;              .

Подставим в исходное уравнение: .

Получим

,

тогда частное решение .

Общее решение исходного дифференциального уравнения

б) ; ; .

Данная задача является задачей Коши, требуется найти частное решение, удовлетворяющее исходному уравнению и поставленным начальным условиям.

Решаем соответствующее однородное уравнение:

.

Составляем характеристическое уравнение ,

находим корни ; .

Общее решение однородного уравнения .

По виду правой части – многочлену второй степени , находим частное решение.

Число  является корнем характеристического уравнения, а  – многочлен второй степени, тогда частное решение имеет вид:

.

Методом неопределённых коэффициентов найдём , , .

Так как

;

,

то подставляя в исходное уравнение, получим

.

После приведения подобных: .

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях  у многочленов, стоящих в левой и правой части равенства, получим систему:

решая ее, найдем

Отсюда частное решение .

Общее решение .

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

В общее решение подставим .

Чтобы удовлетворить второму условию , найдём

.

Положим , . Получим .

Получим систему:

Частное решение .

в) .

Решаем соответствующее однородное уравнение .

Его характеристическое уравнение .

Правая часть исходного уравнения имеет вид:

,

следовательно, ; .

 не является корнем характеристического уравнения. Многочлены  – многочлены нулевой степени, поэтому частное решение ищем в виде:

.

Методом неопределённых коэффициентов найдём  и .

;

.

Подставим в исходное уравнение:

;

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях:

; ;

; .

Найдено частное решение .

Общее решение .

Пример 30  Решить уравнение

Решение:

Общее решение однородного уравнения будет

Частное решите неоднородного уравнения будем искать в виде суммы двух частных решений, так как правая часть есть сумма функций :

Подставляя в исходное уравнение получим:

Приравнивая коэффициенты при подобных членов в обеих частях уравнения получим:

итак, общее решение имеет вид

РЯДЫ