Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
где Если функции
Предположим, что частные решения имеют вид:
Найдём производные:
и подставим в исходное дифференциальное уравнение
или
т.к.
Данное уравнение называется характеристическим уравнением.
При решении квадратного уравнения возможны три случая: 1)
общее решение имеет вид:
2) корни действительные, равные,
общее решение имеет вид:
3) корни комплексные числа,
общее решение имеет вид:
Пример 26 Решить а) Решение: а) составим характеристическое уравнение:
общее решение имеет вид:
или
б) составим характеристическое уравнение:
общее решение имеет вид:
в) составим характеристическое уравнение:
Итак, общее решение имеет вид:
2.2.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.. Метод Лагранжа
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
где
Справедлива следующая теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:  Если а
Замечание. Если правая часть уравнения Как мы убедились раньше, задача отыскания общего решения неоднородного уравнения Приведем метод, позволяющий определить общее решение неоднородного уравнении по общему решению однородного уравнения.
Метод Лагранжа (метод вариации постоянных)решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
Алгоритм метода: 1.Решить однородное уравнение
и записать его общее решение
2. Записать общее решение неоднородного уравнения, полагая произвольные константы функциями от x:
тогда
3. Записать систему уравнений
и решить ее. 4. Полученное решение
Пример 27 Решить уравнение Решение: Для соответствующего однородного уравнения
Запишем его в виде
составляем систему
Решаем эту систему по методу Крамера:
где
получим
Интегрируя, найдем
Подставляя найденные в общее решение однородного дифференциального уравнения
получим
|
||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 362. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |
,
– числа, 
.
образуют фундаментальную систему решений, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
.
.
,
,
, то
.
, различные действительные корни, если дискриминант 
. Фундаментальную систему решений составляют функции:
,
.
, если дискриминант 
. Фундаментальную систему решений составляют функции:
,
.
, если дискриминант 
. Фундаментальную систему решений составляют функции:
,
.
; б) 
; в) 
.
.
.
, где 
.
, комплексные числа, где 
.
.
непрерывная функция. Однородное уравнение соответствующее неоднородному уравнению будет
– частное решение уравнения 
– общее решение однородного уравнения 
то общее решение неоднородного уравнения 
равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения
, то частное решение уравнения равно сумме частных решений, отвечающих каждой функции в отдельности 
.
и частного решения неоднородного уравнения 
.
,
подставить в 
общее решение имеет вид
,
.