Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид , где – числа, . Если функции образуют фундаментальную систему решений, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: . Предположим, что частные решения имеют вид: . Найдём производные: , и подставим в исходное дифференциальное уравнение или , т.к. , то . Данное уравнение называется характеристическим уравнением.
При решении квадратного уравнения возможны три случая: 1) , различные действительные корни, если дискриминант . Фундаментальную систему решений составляют функции: , общее решение имеет вид: .
2) корни действительные, равные, , если дискриминант . Фундаментальную систему решений составляют функции: , общее решение имеет вид: .
3) корни комплексные числа, , если дискриминант . Фундаментальную систему решений составляют функции: , общее решение имеет вид: . Пример 26 Решить а) ; б) ; в) . Решение: а) составим характеристическое уравнение: общее решение имеет вид: или . б) составим характеристическое уравнение: общее решение имеет вид: .
в) составим характеристическое уравнение: , где . Итак, , комплексные числа, где . общее решение имеет вид: .
2.2.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.. Метод Лагранжа
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение где непрерывная функция. Однородное уравнение соответствующее неоднородному уравнению будет Справедлива следующая теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения: Если – частное решение уравнения а – общее решение однородного уравнения то общее решение неоднородного уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения Замечание. Если правая часть уравнения есть сумма нескольких функций , то частное решение уравнения равно сумме частных решений, отвечающих каждой функции в отдельности . Как мы убедились раньше, задача отыскания общего решения неоднородного уравнения сводится к отысканию общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения . Приведем метод, позволяющий определить общее решение неоднородного уравнении по общему решению однородного уравнения.
Метод Лагранжа (метод вариации постоянных)решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка Алгоритм метода: 1.Решить однородное уравнение и записать его общее решение 2. Записать общее решение неоднородного уравнения, полагая произвольные константы функциями от x: , тогда 3. Записать систему уравнений и решить ее. 4. Полученное решение подставить в .
Пример 27 Решить уравнение Решение: Для соответствующего однородного уравнения общее решение имеет вид Запишем его в виде составляем систему Решаем эту систему по методу Крамера: , где получим Интегрируя, найдем Подставляя найденные в общее решение однородного дифференциального уравнения , получим .
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 232. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |