Обыкновенные дифференциальные уравнения

Ÿ Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

Ÿ Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Ÿ Частное, общее и особое решения дифференциального уравнения.

Ÿ Основные типы уравнений первого порядка : уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, , уравнения Бернулли.

Ÿ Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши.

Ÿ Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Ÿ Уравнения, допускающие понижение порядка.

Ÿ Линейные дифференциальные уравнения второго порядка:

Ÿ однородные и неоднородные. Структура общего решения.

Ÿ Однородные линейные дифференциальные уравнения с

Ÿ постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами  и правой частью специального вида.

Ÿ Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Ÿ Приложения дифференциальных уравнений в экономике.

Теория рядов.

Ÿ Сходимость и сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

Ÿ Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница.

Ÿ Функциональные ряды Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора, Маклорена.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Неопределённый интеграл, его свойства

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке

.

Например, функция F(x)=x³ является первообразной функции f(x)=3x² на всей числовой оси, так как (x³)^/=3x² при любом x. Отметим, что вместе с функцией F(x)=x³ первообразной для f(x)=3x² является любая функция вида Ф(х)=х³+С, где С – произвольное постоянное число.

Лемма о первообразных

Если F₁(x) и F₂(x) – две первообразные для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) данной функции f(x), то всё множество первообразных для f(x)  можно записать в виде F(x)+C.

Выражение F(x)+C, где F(x) – первообразная функции f(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом , причём f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением,

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, если знаменатель дроби  представлен в виде сомножителей :

Пример 5.  Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:

а) ;

б) .

Решение:

а)

б)

Пример 6. Вычислить интеграл:

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

приравнивая числители дробей, получаем:

Определим коэффициенты А и В, придавая любые значения переменной x:

Получаем А=1 и В=1. Исходный интеграл найдём как сумму интегралов от полученных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций

 Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где  

Такая замена называется универсальной тригонометрическая подстановкой.

В этом случае,

Тогда

.

Пример 7.  Найти

Решение:

Положим . Тогда, используя выражения через t для dx и sinx, указанные выше, получаем, что искомый интеграл равен

 При вычислении интегралов вида

рассмотрим частные случаи:

n – нечётное

n, m – чётные, .

применяют формулы тригонометрии:

 При вычислении интегралов вида  делают замену                , тогда

Если интеграл имеет вид

,

где n, m – чётные, применяют формулу:

Пример 8.  Вычислить интегралы:

а)

б)

Решение:

а)

б)

  При вычислении

используют формулы

Интегрирование иррациональных выражений

При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной.

Если ,

то  , где

Если

то  , где