Степеневий ряд, його область та інтервал збіжності. Радіус збіжності степеневого ряду

Означення. Функціональний ряд виду

,
 де  - дійсні числа, називається степеневим.

Основна властивість степеневих рядів полягає в тому, що якщо степеневий ряд збігається при , то він збігається (і притім абсолютно) при любому значенні х, яке задовольняє нерівності  (теорема Абеля).

Одним із наслідків теореми Абеля є факт існування для всякого степеневого ряду інтервалу збіжності , або  з центром у точці а, усередині якого степеневий ряд абсолютно збігається і поза яким він розбігається. На кінцях інтервалу збіжності (у точках ) різні степеневі ряди поводяться по-різному: одні збігаються абсолютно на обох кінцях, інші - або умовно збігаються на обох кінцях, або на однім із них умовно збігаються, на іншому розбігаються, треті - розбігаються на обох кінцях.

Означення. Число R - половина довжини інтервалу збіжності - називається радіусом збіжності степеневого ряду.

У окремих випадках радіус збіжності ряду R може дорівнювати нулю або нескінченності. Якщо , то степеневий ряд збігається лише при ; якщо ж , то ряд збігається на всій числовій осі.

Для знаходження інтервалу і радіуса збіжності степеневого ряду можна користуватися одним із наступних способів.

1. Якщо серед коефіцієнтів ряду  немає рівних нулю, тобто ряд містить усі цілі позитивні степені різниці , то

за умови, що ця границя (кінцева або нескінченна) існує.

2. Якщо вихідний ряд має вид

,
 (де р - деяке визначене ціле позитивне число: 2, 3, …), то

.

3. Якщо серед коефіцієнтів ряду є рівні нулю і послідовність показників степенів різниці , які залишилися в ряді , будь-яка (тобто не утворить арифметичну прогресію, як у попередньому випадку), то радіус збіжності можна знаходити по формулі

,
 у якій використовуються тільки значення , відмінні від нуля. (Ця формула придатна й у випадках 1 і 2.)

4. В усіх випадках інтервал збіжності можна знаходити, застосовуючи безпосередньо ознаку Даламбера або ознаку Коші до ряду, складеного з абсолютних величин членів вихідного ряду.

Ряди, отримані почленним диференціюванням і інтегруванням степеневого ряду, мають той же інтервал збіжності і їх суми усередині інтервалу збіжності дорівнюють відповідно похідної і інтегралу від суми початкового ряду.

Операцію почленного диференціювання й інтегрування можна робити над степеневим рядом скільки завгодно раз. Отже, сума степеневого ряду усередині його інтервалу збіжності є нескінченно диференційована функція.

Приклад. Дослідити збіжність ряду

Розв'язок. Тут , , маємо

.

Отже, ряд збігається, якщо , тобто .

Досліджуємо збіжність на кінцях проміжку. Якщо , то одержуємо ряд , який збігається, тому що ряд  збігається при  (на основі інтегральної ознаки). Якщо , то одержуємо ряд . Цей ряд збігається (і притім абсолютно), тому що збігається ряд з абсолютних величин його членів.

Отже, степеневий ряд збігається для значень х, які задовольняють подвійній нерівності .

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

ЛЕКЦІЯ 12. ПОНЯТТЯ ПЕРВІСНОЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА. ВЛАСТИВОСТІ НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА. ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ ФОРМУЛ ІНТЕГРУВАННЯ

12.1. Первісна функція і невизначений інтеграл…………………………..64

12.2. Властивості невизначеного інтеграла………………………………..64

12.2. Таблиця інтегралів…………………………………………………….65

ЛЕКЦІЯ 13. МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ. БЕЗПОСЕРЕДНЄ ІНТЕГРУВАННЯ. ЗАМІНА ЗМІННИХ. ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ

13.1. Безпосереднє інтегрування……………………………………………66

13.2. Інтегрування методом заміни змінної………………………………..66

13.3. Метод інтегрування частинами……………………………………….67

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

ЛЕКЦІЯ 14. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ЯК ГРАНИЦЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ СУМ. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА. ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ ФІГУР ЗА ДОПОМОГОЮ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ З НЕСКІНЧЕННИМИ МЕЖАМИ ІНТЕГРУВАННЯ. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ ВІД НЕОБМЕЖЕНИХ ФУНКЦІЙ. ТЕОРЕМИ ЗБІЖНОСТІ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ

14.1. Визначений інтеграл як границя інтегральних сум…………………69

14.2. Формула Ньютона – Лейбніца………………………………………..70

14.3. Властивості визначеного інтеграла…………………………………..71

14.4. Заміна змінної у визначеному інтегралі……………………………...71

14.5. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі………………….72

14.6. Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла…………………………………………………………………………….73

14.7. Інтеграли з нескінченними межами (невласні інтеграли I роду)…74

14.8. Інтеграл від необмеженої функції (невласні інтеграли II роду)….78

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

ЛЕКЦІЯ 15. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ, ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ. ПОНЯТТЯ ЗАГАЛЬНОГО ТА ЧАСТИННОГО РОЗВ'ЯЗКУ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ. РІВНЯННЯ З РОЗДІЛЕНИМИ ЗМІННИМИ ТА ЗМІННИМИ, ЯКІ РОЗДІЛЯЮТЬСЯ

15.1. Диференціальні рівняння, основні визначення……………………...80

15.2. Диференціальні рівняння першого порядку (загальні поняття)……81

15.3. Диференціальні рівняння із розділеними змінними………………...83

15.4. Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються…………...84

ЛЕКЦІЯ 16. ОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ, ЇХ РОЗВ'ЯЗОК.

16.1. Однорідні рівняння першого порядку………………………………..86

ЛЕКЦІЯ 17. ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ. ПІДСТАНОВКА БЕРНУЛЛІ. МЕТОД ВАРІАЦІЇ ДОВІЛЬНОЇ СТАЛОЇ

17.1. Лінійні рівняння першого порядку. Підстановка Бернуллі……...…87

17.2. Метод Лагранжа (метод варіації довільної сталої) для розв'язку лінійних рівнянь першого порядку……………………………………………….89

17.3. Рівняння Бернуллі……………………………………………………..90

ЛЕКЦІЯ 18. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИШИХ ПОРЯДКІВ. РІВНЯННЯ, ЯКІ ДОПУСКАЮТЬ ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ. ЗАДАЧА КОШІ

18.1. Диференціальні рівняння вищих порядків, основні поняття……….92

18.2. Рівняння вигляду ………………………………………..93

18.3. Диференціальне рівняння виду , яке не містить шуканої функції………………………………………………………..94

18.4. Диференціальне рівняння виду , яке не містить незалежної змінної………………………………………………………...95

18.5. Рівняння виду , однорідне щодо …………………………………………………………………...…96

ЛЕКЦІЯ 19. ЛІНІЙНІ ОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ІЗ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЕНТАМИ. ЛІНІЙНІ НЕОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ІЗ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЕНТАМИ ЗІ СПЕЦІАЛЬНОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ

19.1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами…………………………………………………………….97

19.2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами…………………………………………………………….99

ЛЕКЦІЯ 20. ЛІНІЙНІ ОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ n-ОГО ПОРЯДКУ ІЗ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЕНТАМИ. ЛІНІЙНІ НЕОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ n-ОГО ПОРЯДКУ ІЗ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЕНТАМИ ЗІ СПЕЦІАЛЬНОЮ ПРАВОЮЧАСТИНОЮ. МЕТОД ВАРІАЦІЇ ДОВІЛЬНИХ СТАЛИХ

20.1. Лінійні однорідні рівняння n-го порядку із сталими коефіцієнтами……………………………………………………………………..105

20.2. Лінійні неоднорідні рівняння n-го порядку із сталими коефіцієнтами……………………………………………………………………..107

20.3. Метод варіації довільних сталих……………………………………110

ЧИСЛОВІ РЯДИ

ЛЕКЦІЯ 21. ЧИСЛОВИЙ РЯД, ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ.НЕОБХІДНА УМОВА ЗБІЖНОСТІ. ДІЇ З РЯДАМИ. РЯДИ З ДОДАТНИМИ ЧЛЕНАМИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

21.1. Визначення числового ряду. Сума ряду……………………………112

21.2. Властивості числових рядів із додатними членами………………..114

21.3. Необхідна ознака збіжності ряду……………………………………114

ЛЕКЦІЯ 22. ДОСТАТНІ ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ: ПОРІВНЯЛЬНА, ДАЛАМБЕРА, РАДИКАЛЬНА. ІНТЕГРАЛЬНА ОЗНАКА КОШІ

22.1. Ознака порівняння……………………………………………………115

22.2. Гранична форма ознаки порівняння………………………………...116

22.3. Ознака Даламбера…………………………………………………….117

22.4. Радикальна ознака Коші……………………………………………..117

22.5. Інтегральна ознака Коші……………………………………………..118

ЛЕКЦІЯ 23. ЗНАКОЗМІННІ РЯДИ. АБСОЛЮТНА І УМОВНА ЗБІЖНІСТЬ. РЯДИ ЗІ ЗНАКОЧЕРГУВАННЯМ. ОЗНАКА ЛЕЙБНІЦА. ВЛАСТИВОСТІ ЗНАКОЗБІЖНИХ РЯДІВ

 23.1. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбніца………………………………119

23.2. Знакопереміжні ряди. Абсолютна й умовна збіжність…………….119

23.3. Властивості абсолютно й умовно збіжних рядів………………...…121

ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

ЛЕКЦІЯ 24. ОБЛАСТЬ ЗБІЖНОСТІ ФУНКЦІОНАЛЬНОГО РЯДУ

24.1. Область збіжності функціонального ряду…………………………122

ЛЕКЦІЯ 25. СТЕПЕНЕВИЙ РЯД, ЙОГО ОБЛАСТЬ ТА ІНТЕРВАЛ ЗБІЖНОСТІ. ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЕВИХ РЯДІВ. РАДІУС ЗБІЖНОСТІ СТЕПЕНЕВОГО РЯДУ

25.1. Степеневий ряд, його область та інтервал збіжності. Радіус збіжності степеневого ряду…………………………………………………………………..124

ЛЕКЦІЯ 26. РЯДИ ТЕЙЛОРА ТА МАКЛОРЕНА. РОЗВИНЕННЯ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ В РЯДИ ТЕЙЛОРА ТА МАКЛОРЕНА

26.1. Ряди Тейлора і Маклорена…………………………………….……..127

26.2. Розвинення в степеневий ряд функції ………………..…127

26.3. Розвинення в степеневий ряд функції ………………...128

26.4. Розвинення в степеневий ряд функції ………………...129

26.5. Біноміальний ряд…………………………………………….…….…129

26.6. Розвинення в степеневий ряд функції …………………131

26.7. Розвинення в степеневий ряд функції …………...…132

ЛЕКЦІЯ 27. ЗАСТОСУВАННЯ СТЕПЕНЕВИХ РЯДІВ ДО НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ, ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ ТА ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

27.1. Застосування рядів до наближених обчислень. Обчислення значень функцій за допомогою рядів……………………………………………………...132

27.2. Наближене обчислення інтегралів…………………………………..134

27.3. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів……...135

ЛЕКЦІЯ 28. РЯДИ ФУР'Є ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. КОЕФІЦІЄНТИ ФУР'Є. ПРИНЦИП ТА ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ. РОЗКЛАДАННЯ ФУНКЦІЇ В РЯД ФУР'Є НА ВІДРІЗКУ ,

28.1. Ряди Фур'є та їх властивості. Коефіцієнти Фур'є. Принцип та теорема Дирихле………………………………………………………………….138

28.2. Розвинення в ряд Фур'є функцій із періодом …………………...142

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ …………………………………………………..145