Гранична форма ознаки порівняння

Гранична форма ознаки порівняння. Якщо  і - ряди з невід'ємними членами й існує кінцевий, відмінний від нуля , то розглянуті ряди одночасно збігаються або розбігаються.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Порівняємо ряд із гармонічним рядом .

.

Отже, даний ряд розбігається.

Ознака Даламбера

 Ознака Даламбера. Нехай маємо ряд із додатними членами . Якщо існує , то при  ряд збігається, при  ряд розбігається, при  потрібні додаткові дослідження - ознака відповіді не дає.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Скористаємося ознакою Даламбера; маємо , ; виходить,

.

Даний ряд збігається.

Радикальна ознака Коші

Радикальна ознака Коші. Якщо для ряду з невід'ємними членами  існує , то при  ряд збігається, при  ряд розбігається, при  потрібні додаткові дослідження - ознака відповіді не дає.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Тут зручно застосувати ознаку Коші, оскільки , а границя останнього дробу знаходиться просто:

.

Даний ряд збігається.

Інтегральна ознака Коші

Інтегральна ознака Коші. Нехай дано ряд  із невід'ємними членами, члени якого є значеннями неперервної функції  при цілих значеннях аргументу х:

і нехай  монотонно спадає на інтервалі . Тоді ряд збігається, якщо збігається невласний інтеграл , і розбігається, якщо цей інтеграл розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Скористуємося інтегральною ознакою Коші:  ; отже, .

При : . Ряд розбігається.

ЛЕКЦІЯ 23. ЗНАКОЗМІННІ РЯДИ. АБСОЛЮТНА І УМОВНА ЗБІЖНІСТЬ. РЯДИ ЗІ ЗНАКОЧЕРГУВАННЯМ. ОЗНАКА ЛЕЙБНІЦА. ВЛАСТИВОСТІ ЗНАКОЗБІЖНИХ РЯДІВ

 23.1. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбніца

Будемо розглядати ряди, члени яких мають знакозмінні знаки, тобто ряди виду

.

Теорема Лейбніца. Якщо у знакозмінному ряді

члени такі, що    і , то ряд збігається, його сума додатна і не перевершує першого члена.

Зауваження. Теорема Лейбніца справедлива, якщо нерівності  виконуються, починаючи з деякого N.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Розв'язок. Застосуємо теорему Лейбніца. Тому що , то перша умова теореми виконується. Далі, тому що , то виконана і друга умова. Виходить, даний ряд збігається.

Знакопереміжні ряди. Абсолютна й умовна збіжність

Означення. Знакозмінний ряд  називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений з абсолютних величин його членів: . Якщо ж знакозмінний ряд  збігається, а ряд , складений з абсолютних величин його членів, розбігається, то даний знакозмінний ряд  називається умовно збіжним рядом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Перша умова ознаки Лейбніца виконується:  Тому що , то виконана і друга умова. Виходить, даний ряд збігається.

Складемо ряд з абсолютних величин: . Даний гармонічний ряд розбігається, отже, знакозмінний ряд збігається умовно.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв'язок. Перша умова ознаки Лейбніца виконується:  Тому що , то виконана і друга умова. Виходить, даний ряд збігається.

Складемо ряд з абсолютних величин: . Дослідимо збіжність даного ряду, використовуючи ознаку Даламбера; маємо: , .

,
отже, ряд збігається. Виходить, даний ряд збігається абсолютно.