Метод Лагранжа (метод варіації довільної сталої) для розв'язку лінійних рівнянь першого порядку

Суть методу полягає в тому, що спочатку знаходимо загальний розв'язок відповідного лінійного однорідного рівняння  

.
 Потім, вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:

 .                                                                     (17.7)
Розв'язок (17.7) повинен задовільняти рівняння (17.1). Диференціючи і підставляючи (17.7) в (17.1), маємо:

,

,

, ,

,

.                                          (17.8)

Він співпадає з розв'язком (17.6).

Приклад. Розв'язати рівняння методом Лагранжа

.

Розв'язок. Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння

, ,

, .

Вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:

,  .

Підставимо у вихідне рівняння у,  і з отриманого диференціального рівняння знайдемо функцію :

,

,     .

 - загальний розв'язок.

Тому що , то  - теж розв'язок вихідного рівняння.

ЛЕКЦІЯ 18. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИШИХ ПОРЯДКІВ. РІВНЯННЯ, ЯКІ ДОПУСКАЮТЬ ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ. ЗАДАЧА КОШІ

18.1. Рівняння виду

Розв'язок цього рівняння знаходиться n-кратним інтегруванням:

,

,

,

…………………………………………………

,
 де  .

 Тому що , є сталі, то загальний розв'язок може бути записаний і так:

.

Приклад. Знайти розв'язок задачі Коші: , .

Розв'язок. Знайдемо загальний розв'язок послідовним інтегруванням даного рівняння

,

.

.

Скористаємося початковими умовами:

 :   ,     .    

:      ,             .

Отже, шуканий частинний розв'язок має вигляд:

.

Рівняння II порядку, що дозволяють зниження порядку

Випадок 1. . Заміна , .

Приклад. Розв'язати рівняння .

Розв'язок. Це рівняння не містить у. Вважаючи , перетворимо рівняння до виду .

Інтегруємо його. Вважаючи в рівнянні , , одержимо:

,    .

Визначаємо , поклавши , , , відкіля , або .

Визначимо :

, , відкіля ; отже,

.

Повертаючись до змінної у, маємо

,

,

.

Випадок 2. Диференціальне рівняння виду , яке не містить незалежної змінної.

Рівняння цього виду допускає зниження порядку за допомогою заміни , , або .

Приклад. Розв'язати рівняння .

Розв'язок. Вважаючи , , отримаємо рівняння I порядку відносно невідомих  і .

.

Розділимо змінні і проінтегруємо:

,    ,

, , .

Повертаючись до змінної , отримаємо

,  ,  ,

,  ,

, .

ЛЕКЦІЯ 19. ЛІНІЙНІ ОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ІЗ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЕНТАМИ. ЛІНІЙНІ НЕОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ІЗ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЕНТАМИ ЗІ СПЕЦІАЛЬНОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ

19.1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Означення. Рівняння виду , де a, b, c - сталі, називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Теорема. Якщо   і  - два лінійно-незалежні частинні розв'язки рівняння , , то загальний розв'язок цього рівняння .

Для визначення частинних розв'язків   і  рівняння скдадаємо характеристичне рівняння

,
 де k - корінь, який визначається за формулою

, .

У залежності від коренів характеристичного рівняння загальний розв'язок шукаємо у вигляді:

а) якщо корені рівняння  - дійсні різні, то загальний розв'язок ;

б) якщо корені рівняння  - дійсні рівні, то загальний розв'язок ;

в) якщо корені рівняння  - комплексні спряжені, то загальний розв'язок .

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв'язок. Складемо характеристичне рівняння ; його корені , . Отже, загальний розв'язок має вигляд:

.

Приклад. Знайти розв'язок задачі Коші: , , .

Розв'язок. Складемо характеристичне рівняння ; його корені . Отже, загальний розв'язок має вигляд:

.

Підставляючи початкові умови в загальний розв'язок і його похідну, одержимо систему рівнянь відносно   і .

Виходить, розв'язок, який задовольняє поставленим початковим умовам, має вигляд:

.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв'язок. Складемо характеристичне рівняння ; його корені . Корені характеристичного рівняння комплексні сполучені, а тому загальний розв'язок є

.

19.2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Розглянемо тепер неоднорідне рівняння

,                                                                        (19.1)

і з неперервною правою частиною .

Означення. Якщо в (19.1) , то рівняння  називається відповідним однорідним рівнянням.

Теорема 1. Якщо відомий який-небудь частинний розв'язок  неоднорідного рівняння , то загальний його розв'язок  є сума цього частинного розв'язку і загального розв'язку у відповідного однорідного рівняння , тобто .

Доказ. Потрібно довести, що сума  є загальний розв'язок рівняння .

Доведемо спочатку, що функція  є розв'язок рівняння .

Підставляючи суму  в рівняння  замість у, отримаємо

,
або .

Тому що у є розв'язок рівняння , то вираз, який знаходиться в других дужках, тотожно дорівнює нулю. Тому що  є розв'язок рівняння , то вираз, який стоїть в перших дужках, дорівнює . Отже, рівність  є тотожністю. Таким чином, перша частина теореми доведена.

Доведемо тепер, що вираз  є загальний розв'язок рівняння , тобто доведемо, що вхідні в нього довільні сталі можна підібрати так, щоб задовольнялися початкові умови:

,
 які б ні були числа  (аби  було узято з тієї області, де функція  неперервна).

Помітивши, що у можна представити у формі

,
 де   і  - лінійно незалежні розв'язки рівняння , а   і  - довільні сталі, можемо переписати рівність  у вигляді .

Тоді на підставі умов  отримаємо

,  .

З цієї системи рівнянь потрібно визначити   і . Переписавши систему у вигляді

, ,

зауважуємо, що визначник цієї системи є визначник Вронського для функцій   і  в точці . Тому що ці функції за умовою лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю; отже, система має визначений розв'язок   і , тобто існують такі значення   і , при яких формула  визначає розв'язок рівняння , який задовольняє даним початковим умовам. Теорема цілком доведена.

Теорема 2. Якщо -частинний розв'язок рівняння , а  - частинний розв'язок рівняння , то - частинний розв'язок рівняння .

Доказ. Складаючи ліві і праві частини рівностей  і , получимо

.
 З останньої рівності і випливає, що сума   є розв'язок рівняння .

Теореми, за допомогою яких знаходяться частинні розв'язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь для спеціальних правих частин:

Теорема 3. Якщо права частина лінійного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами має вид , де  - многочлен n-ої степені і   не є коренем характеристичного рівняння, то існує частинний розв'язок вигляду , де  - деякий многочлен n-ої степені:

.
 Якщо ж    є коренем характеристичного рівняння кратності k (  або ), то існує частинний розв'язок вигляду .

Зокрема, при  права частина - многочлен n-ої степені, і якщо  не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв'язок  - також деякий многочлен тієї ж степені. Якщо ж  - корінь кратності k, то частинний розв'язок має вигляд .

Теорема 4. Якщо ж права частина лінійного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами може бути подана у вигляді

,
 де  і  - многочлени (n - найбільша з їх степенів) і  не є коренем характеристичного рівняння, то існує частинний розв'язок виду

,
 де  

і  -

многочлени степені n. Якщо ж  є коренем характеристичного рівняння кратності k, то існує частинний розв'язок виду

.

Приклад. Вирішити рівняння .

Розв'язок. Вирішимо відповідне однорідне рівняння . Складемо характеристичне рівняння ; його корені , . Загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння є .

Тому що права частина даного неоднорідного рівняння має вид  (тобто вид ), причому 0 не є коренем характеристичного рівняння , то частинний розв'язок будемо шукати у виді

.

Підставимо цей вираз в задане рівняння

,   .

,     .

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, получимо

Відкіля , . Отже, . Загальний розв'язок  буде

.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв'язок. Вирішимо відповідне однорідне рівняння . Складемо характеристичне рівняння ; його корені , . Загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння є .

Тут права частина має вид , причому коефіцієнт 1 у показнику степені є простим коренем характеристичного многочлена. Отже, частинний розв'язок шукаємо у виді

,

,

.

Підставляючи   в задане рівняння, будемо мати

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, получимо

,

,
 відкіля , . Отже, частинним розв'язком є

,
 а загальним

.

Приклад. Знайти загальний інтеграл лінійного неоднорідного рівняння .

Розв'язок. Характеристичне рівняння  має корені ; . Тому загальний інтеграл відповідного однорідного рівняння є

.

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у виді

,
 де А і В - сталі коефіцієнти, які підлягають визначенню.

Підставляючи  в задане рівняння, будемо мати:

.

Прирівнюючи коефіцієнти при   і , одержимо систему двох рівнянь для визначення А і В:

відкіля , . Загальний розв'язок даного рівняння , тобто

.

Приклад. Вирішити рівняння .

Розв'язок. Характеристичне рівняння має корені ; : тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вид

.

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у формі

.

Тоді ,

.

Підставляючи ці вирази похідних у дане рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при   і , одержуємо систему рівнянь для визначення А і В:

відкіля , .

Таким чином, загальний інтеграл даного рівняння

.

ЧИСЛОВІ РЯДИ