Інтеграл від необмеженої функції

(невласні інтеграли II роду)

Нехай функція  визначена і неперервна при , а при  функція або не визначена, або терпить розрив. У цьому випадку не можна говорити про інтеграл   як про границю інтегральних сум, тому що  не визначена на відрізку , і тому ця границя може і не існувати.

Інтеграл  від функції , необмеженої в точці b, означається таким способом: .

Означення. Якщо границя, яка стоїть справа, існує, то інтеграл називають невласним збіжним інтегралом, у противному випадку інтеграл називають розбіжним.

Якщо функція  необмежена в лівому кінці відрізка   (тобто при ), то по означенню .

Якщо функція  необмежена в деякій точці , яка лежить усередині відрізка , то , якщо обидва невласних інтеграли, які стоять у правій частині рівності, існують.

Приклад. Обчислити невласні інтеграли:

а)

б)

.

Отже, даний інтеграл розбігається.

Зауваження. Якщо функція , визначена на відрізку , має всередині цього відрізка скінчене число точок розриву , то інтеграл від функції  на відрізку  означається так: , якщо кожний із невласних інтегралів у правій частині рівності збігається. Якщо ж хоча б один із цих інтегралів розбігається, то і  називається розбіжним.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

ЛЕКЦІЯ 15. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ, ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ. ПОНЯТТЯ ЗАГАЛЬНОГО ТА ЧАСТИННОГО РОЗВ'ЯЗКУ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ. РІВНЯННЯ З РОЗДІЛЕНИМИ ЗМІННИМИ ТА ЗМІННИМИ, ЯКІ РОЗДІЛЯЮТЬСЯ

Диференціальні рівняння, основні визначення

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв'язує незалежну змінну х, шукану функцію  та її похідні , , …, ,...

Символічно диференціальне рівняння можна записати так:

або

.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить у рівняння.

Так, наприклад, рівняння

є рівняння першого порядку.

Рівняння

є рівняння другого порядку.

Означення. Розв'язком або загальним інтегралом диференціального рівняння називається така функція , яка, будучи підставлена в рівняння, перетворює його в тотожність.