Диференціальні рівняння із розділеними змінними

Означення. Диференціальне рівняння типу

називають рівнянням із розділеними змінними, тому що в цьому рівнянні змінні розділені, тобто при  знаходиться тільки функція від х, а при  - тільки функція від у.

Інтегруючи обидві частини цього рівняння, одержимо співвідношення, яке зв'язує розв'язок у, незалежну змінну х і довільну сталу С, тобто одержимо загальний інтеграл рівняння

.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв'язок. , ,

.

Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються

Означення. Диференціальні рівняння, у яких змінні можна розділити за допомогою множення або ділення обох частин рівняння на той самий вираз, називаються диференціальними рівняннями із змінними, які розділяються.

Це рівняння виду

.

Воно може бути приведене до рівняння із розділеними змінними шляхом ділення обох його частин на вираз :

,
 або

.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв'язок. Розділяючи змінні, знаходимо:

,

.

Інтегруючи, отримаємо:

або

.
 Останнє співвідношення є загальний інтеграл даного рівняння.

Приклад. Розв'язати задачу Коші

,       .

Розв'язок. Розділяючи змінні, знаходимо:

.
 Інтегруючи, отримаємо:

,

.
 Одержали загальний інтеграл вихідного рівняння.

Розв'язавши останнє рівняння відносно у, знайдемо загальний розв'язок вихідного рівняння

,   ,   .

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові .

, , , .

- розв'язок задачі Коші.

ЛЕКЦІЯ 16. ОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ, ЇХ РОЗВ'ЯЗОК.

Однорідні рівняння першого порядку

Означення. Функція  називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність

.

Приклад.  - однорідна функція першого порядку, тому що

.

Приклад.  - однорідна функція другого порядку, тому що

.

Приклад.  - однорідна функція нульового порядку, тому що

.

Означення. Рівняння виду   називається однорідним, якщо функції при  і  є однорідними однакового порядку.

Однорідне рівняння зводиться до вигляду  і за допомогою заміни змінних , де , , або  зводиться до рівняння із змінними, які розділяються.

Приклад. Розв'язати задачу Коші

,       .

Розв'язок.

 - однорідні функції першого порядку

,       ,     ,

,         ,

,

,      ,     ,    ,

 - загальний розв'язок.

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові :   ,    .

 - розв'язок задачі Коші.

ЛЕКЦІЯ 17. ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ. ПІДСТАНОВКА БЕРНУЛЛІ. МЕТОД ВАРІАЦІЇ ДОВІЛЬНОЇ СТАЛОЇ

Лінійні рівняння першого порядку. Підстановка Бернуллі

Означення. Лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, що має вигляд

,                                                                      (17.1)
 де  і  - задані неперервні функції від х (або сталі).

Якщо , то рівняння називається однорідним.

Шукаємо розв'язок рівняння (17.1) у вигляді добутку двох функцій від х:

,                                                                          (17.2)

.                                                                              (17.3)

Підставши у і  в (17.1), маємо:

,

.                                                          (17.4)

Виберемо функцію  такою, щоб

,                                                                              (17.5)

,  ,   ,

,      ,

,       .

Так як нам досить якого-небудь відмінного від нуля розв'язку рівняння (17.5), то за функцію  візьмемо .

Підставляючи знайдене значення  в (17.4), одержимо:

, ,  , .

Підставляючи  й  у (17.2), одержуємо розв'язок неоднорідного рівняння:

,

.                                          (17.6)

Розв'язок однорідного рівняння можна записати у вигляді:

 ,  , ,

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Розв'язок. Скориставшись (17.2), (17.3) , , маємо:

,  .

Згідно методу виберемо функцію  такою, щоб , тоді

, ,

.

, , , ,

.

Підставляючи   й , одержуємо загальний розв'язок рівняння:

.