Властивості визначеного інтеграла

Визначений інтеграл має ті ж властивості, що й невизначений. Крім того:

1^о. Якщо відрізок інтегрування [a, b] розбитий на дві частини [a, с] і [с, b], то   .

2^о. .

3^о. , якщо .

4^о. , якщо .

Заміна змінної у визначеному інтегралі

Має місце наступна формула заміни змінної у визначеному інтегралі

, , .

Приклад. Обчислити визначені інтеграли:

а)

б)

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Застосувавши формулу Ньютона-Лейбница до формули інтегрування частинами, маємо

                      (3)

Приклад. Обчислити визначений інтеграл:

 14.6. Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла

 Якщо на [a, b] функції  і  неперервні, то площа області, обмеженої знизу графіком функції , зверху - графіком функції , зліва - прямою , справа - прямою  обчислюється за формулою:

Якщо на [a, b] функції  і  неперервні, то площа області, обмеженої зліва графіком функції , справа - графіком функції , знизу - прямою , зверху - прямою  обчислюється за формулою:

Приклад. Обчислити площу області, обмеженої лініями , , .

Розв'язок.(кв. од.)

Приклад. Обчислити площу області, обмеженої лініями , , віссю ординат і прямою .

Розв'язок.

Інтеграли з нескінченними межами

(невласні інтеграли I роду)

Нехай функція  визначена і неперервна при усіх значеннях х таких, що . Розглянемо інтеграл . Цей інтеграл має смисл при усіх . При зміні b інтеграл змінюється. Розглянемо питання про поведінку цього інтеграла при .

Означення. Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається невласним інтегралом від функції  на інтервалі  і позначається так: .

Отже, по означенню маємо:  .

Говорять, що в цьому випадку невласний інтеграл  існує або збігається. Якщо  при  не має скінченної границі, то говорять, що невласний інтеграл не існує або розбігається.

Легко з'ясувати геометричний зміст невласного інтеграла у випадку, коли : якщо інтеграл  виражає площу області, обмеженої кривою , віссю абсцис і ординатами , , то природно вважати, що невласний інтеграл  виражає площу необмеженої (нескінченної) області, замкнутої між лініями ,   і віссю абсцис.

Аналогічним образом означаються невласні інтеграли і від інших нескінченних інтервалів.

.         .

Останню рівність варто розуміти так: якщо кожний із невласних інтегралів, який стоїть справа, існує, то існує (збігається) по означенню й інтеграл, який стоїть зліва.

Приклад. Обчислити невласні інтеграли:

а)

б) .

Другий інтеграл дорівнює . Обчислимо перший інтеграл.

Отже, .

Приклад. Показати, для яких значень   інтеграл  збіжний, а для яких розбіжний.

Розв'язок.

При   .

Отже, щодо аналізованого інтеграла можна зробити такі висновки:

якщо , то , тобто інтеграл збігається;

якщо , то , тобто інтеграл розбігається.

При , тобто інтеграл розбігається.