Метод інтегрування частинами

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

ЛЕКЦІЯ 12. ПОНЯТТЯ ПЕРВІСНОЇ ТА НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА. ВЛАСТИВОСТІ НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА. ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ ФОРМУЛ ІНТЕГРУВАННЯ

Первісна функція і невизначений інтеграл

Займаючись диференціюванням функцій, ми ставили перед собою таку задачу: по даній функції знайти її похідну. Тепер перейдемо до вивчення оберненої задачі: знайти функцію, знаючи її похідну.

Означення. Функція  називається первісною для функції  для , якщо у всіх точках  виконується рівність .

Якщо функція  має первісну , то вона має нескінченну множину первісних, причому всі первісні знаходяться у виразі , де С - деяке дійсне число.

Означення. Невизначеним інтегралом від функції  називається множина всіх її первісних і позначається символом . Таким чином, за означенням, , якщо . При цьому функцію  називають підінтегральною функцією,  - підінтегральним виразом, знак - знаком інтеграла.

Знаходження невизначеного інтеграла називається інтегруванням функції.

Властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції, тобто, якщо , то і

.

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

.

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цієї функції плюс довільна стала

.

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох або декількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів:

.

5. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо , то

.

6. Якщо , то

.

Таблиця інтегралів

ЛЕКЦІЯ 13. МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ

Безпосереднє інтегрування

 Безпосереднім інтегруванням будемо називати інтегрування за допомогою властивостей невизначеного інтеграла, тотожних перетворень підінтегральної функції і таблиці основних інтегралів.

Приклад. .

Приклад.

.

Приклад. Використавши властивість № 6 знайти .

Приклад. .

Приклад. .

Інтегрування методом заміни змінної

Заміна змінної в невизначеному інтегралі проводиться за допомогою підстановок двох видів:

1) , де  - монотонна, неперервно диференційовна функція нової змінної t. Тоді . Формула заміни змінної в цьому випадку має вид

.

2) , де t - нова змінна. Формула заміни змінної при такій підстановці має вид

.

Приклад.

Приклад. .

Приклад. .

Приклад. .

Метод інтегрування частинами

Нехай  і - дві неперервно диференційовані функції від х. Тоді використавши формулу для диференціала добутку :

.

Маємо  або

.                                              (1)

Ця формула називається формулою інтегрування частинами. За допомогою цієї формули знаходження інтеграла  зводиться до знаходження іншого інтеграла ; її застосування доцільно в тих випадках, коли останній інтеграл або простіше вихідного, або йому подібний.

При цьому за u береться така функція, яка при диференціюванні спрощується, а за dv - та частина підінтегрального виразу, інтеграл від якої відомий або може бути знайдений.

Класи інтегралів, що інтегруються частинами: , , , де  - многочлен, за u  слід прийняти , а за dv - відповідно вирази , , ; для інтегралів виду , , , ,    за u   приймаються відповідно функції , , , ,  , а за dv - вираз .

Приклад.

.

Приклад.

.

Приклад.

Приклад.

Проінтегрувавши частинами ще раз маємо

Після двократного інтегрування частинами, ми в правій частині знову одержали початковий інтеграл. Таким чином, приходимо до рівняння з невідомим інтегралом. З цього рівняння знаходимо

 тобто

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Формула Ньютона - Лейбніца

,                                   (2)

де - первісна функції  або невизначений інтеграл.

Приклад. Обчислити визначений інтеграл:

.