Регрессионный анализ для нестационарных временных рядов.

Модель коррекции ошибок

Как уже обсуждалось, при моделировании зависимости временных рядов на основании уравнения регрессии близость к единице наблюдаемого коэффициента детерминации не обязательно означает наличие причинной связи между ними, а может являться лишь следствием наличия тренда в уровнях обоих рядов.

При этом, ложная регрессия (паразитная связь) может возникнуть между временными рядами как с детерминированными так и со стохастическими трендами. В последнем случае, как правило, вместе с высоким значением коэффициента детерминации наблюдается также крайне низкое значение статистики Дарбина–Уотсона.

Вопрос о ложной или не ложной линейной регрессионной связи между двумя I(1) временными рядами сводится к выяснению, являются ли эти ряды коинтегрированными. Два I(1) временных ряда  и  называются коинтегрированными, если существует ненулевой (коинтегрирующий) вектор , для которого линейная комбинация  является стационарным I(0)-рядом. Известно, что коинтегрирующий вектор определяется с точностью до постоянного множителя, поэтому для выделения определённого вектора вводят условие нормировки, например, рассматривается вектор . Если такой вектор существует, то это значит, что линейная комбинация является стационарным I(0)-рядом. В этом случае уравнение  определяет уравнение равновесия рассматриваемых рядов в долгосрочной перспективе, а абсолютная величина  может рассматриваться как расстояние, отделяющее систему в момент t от равновесия. Ряд  является стационарным рядом с нулевым математическим ожиданием.

Если система коинтегрированных рядов  и  допускает AR(p) представление, то её можно представить в виде следующей модели коррекции ошибок (error correction model – ECM)

,

где  – стационарный ряд с нулевым математическим ожиданием, и .

Известно, что в этом случае имеет место причинность по Гренджеру, по крайней мере в одном направлении. Значение  через посредство  помогает в прогнозировании значения  (т.е. переменная  является причиной по Гренджеру для переменной ), если . Значение  через посредство  помогает в прогнозировании значения  (т.е. переменная  является причиной по Гренджеру для переменной ), если .

При коинтегрированности I(1)-рядов ,  имеем:

модель долговременной (равновесной) связи ;

модель краткосрочной динамики в форме ECM,

и эти модели согласуются друг с другом.

Приведём двухшаговую процедуру построения ЕСМ, предложенную Энглом и Гренджером.

На первом шаге значения параметров  и  модели  оцениваются обычным МНК и затем находятся оценённые значения отклонений от положения равновесия  как остатки от оценённой регрессии.

На втором шаге МНК раздельно оцениваются уравнения

,

(т.е. предполагается VAR(p) модель для , ). При этом МНК-оценки стандартных ошибок всех оценок параметров модели являются состоятельными. Проблемы же, возникающие на первом шаге, не являются значимыми, т.к. этот шаг является вспомогательным, зато на втором шаге можно пользоваться обычными статистическими процедурами.

При практическом применении двухшаговой процедуры Энгла–Гренджера ряд остатков , полученных на первом шаге, используется не только для оценки ЕСМ на втором шаге, но и для проверки гипотезы о некоинтегрируемости  рядов  и . При этом надо иметь в виду, что тестируется не «сырой» временной ряд, а ряд остатков, полученных после оценивания модели.

Приведём пример оценки ЕСМ-модели с исходными данными на           рисунке 8.1.

Здесь SX – динамика инвестиций в основной капитал России за пять лет;

        SY – индекс промышленного производства за этот же период (все данные исправлены на сезонность).

Рисунок 8.1 – Графики анализируемых рядов данных

В соответствии с первым шагом двухшаговой процедуры Энгла–Гренджера оценим параметры уравнения долгосрочной связи между этими показателями в виде  (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 – Уравнение регрессии равновесной связи

Получили: , так что .

Тест на единичный корень остатков этого уравнения (рисунок 8.3) показал, что остатки стационарны, следовательно, анализируемые ряды коинтегрированы.

Рисунок 8.3 – ADF-тест остатков уравнения равновесной связи

Следовательно, можно строить модель коррекции ошибок.

Сначала оценим отдельно уравнение для . Для этого сохраним остатки предыдущего уравнения под именем z , а уравнения ECM будем оценивать в виде

,

(здесь и далее sy  соответствует y , а sx  соответствует x ).

Итак, для второго уравнения имеем (рисунок 8.4)

Рисунок 8.4 – Оценка уравнения регрессии для

Уберём незначимые члены этого уравнения и получим (рисунок 8.5).

Рисунок 8.5 – Оценка уравнения регрессии для  со значимыми членами

Таким образом, оценённое уравнение регрессии для  примет вид

.

Оценим уравнение регрессии для . Оценка «полного» уравнение имеет вид (рисунок 8.6).

Рисунок 8.6 – Оценка «полного» уравнения регрессии для

Удалив из этого уравнения незначимые члены с наибольшими значениями Prob., получили (рисунок 8.7).

Рисунок 8.7 – Оценка сокращённого уравнения регрессии для

Удалив незначимый член Z(-1), окончательно получим (рисунок 8.8).

Рисунок 8.8 – Оценка уравнения регрессии для  со значимыми членами

Таким образом, оценённое уравнение регрессии для  примет вид

.

Итак, получили следующую ЕСМ:

,

.

Получили, что коррекция производится только в отношении ряда : при положительных отклонениях от равновесного состояния, т.е. при , в правой части уравнения для  корректирующая составляющая  – отрицательная и действует в сторону уменьшения приращения переменной . Напротив, при отрицательных  корректирующая составляющая действует в сторону увеличения приращения переменной .

Прошлые значения переменной  через посредство  помогают в прогнозировании значения , т.е. переменная  является причиной по Гренджеру для переменной . В то же время прошлые значения переменной  не помогают прогнозированию значения , так что  не является причиной по Гренджеру для переменной .

Таким образом, получили, что в анализируемом периоде индекс промышленного производства зависит от динамики инвестиций в основной капитал.

Список литературы

1. Доугерти К. Введение в эконометрику / К. Доугерти. – М. : Финансы и статистика, 1999.

2. Магнус Я. Р. Эконометрика. Начальный курс : учебник. – 7-е изд., испр. / Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. – М. : Дело, 2005.

3. Носко В. П. Эконометрика для начинающих / В. П. Носко. – М. : ИЭПП, 2000.

4. Носко В. П. Эконометрика. Элементарные методы и введение в регрессионный анализ временных рядов / В. П. Носко. – М. : ИЭПП, 2004.

5. Носко В. П. Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы) / В. П. Носко. – М. : ИЭПП, 2005.

6. Эконометрика : учебник / под ред. И. И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2007.

7. Эконометрика : учебник / под ред. д-ра экон. наук, проф. В. С. Мхитаряна. – М. : Проспект, 2008.

8. Ben Vogelvang Econometrics Theory and Applications with EViews, Pearson Education Limited: Prentice Hall, 2005.

9. Gujarati D. N. Basic Econometrics, New York: Mc Graw–Hill, 2003.

Оглавление

Глава 1. Работа с файлами………………………………………………..................4

1.1. Создание файла данных в Excel для импорта в EViews……….......................4

1.2. Создание файла в EViews………………………………………........................5

Глава 2. Основы теории оценивания и проверки гипотез……………...................8

2.1. Описательные статистики……………………………………….......................8

2.2. Проверка статистических гипотез………………………………....................10

Глава 3. Регрессионный анализ…………………………………………...............14

3.1. Метод наименьших квадратов и его предпосылки…………….....................14

3.2. Показатели точности уравнения регрессии и оценок его

параметров................................................................................................…………16

3.3. Пример на регрессионный анализ………………………………....................19

3.4. Проверка остаточного члена на автокорреляцию………………...................23

3.5. Уравнение регрессии с автокоррелированными остатками……..................31

3.6. Проверка остатков на гомоскедастичность……………………….................33

3.7. Уравнение регрессии с гетероскедастичными остатками

(взвешенный метод наименьших квадратов)…………………….........................37

3.8. Мультиколлинеарность……………………………………………..................42

3.9. Прогнозирование в EViews по уравнению регрессии……………................46

3.10. Тест Чоу для прогноза……………………………………………..................50

3.11. Тест Чоу на точку перегиба……………………………………….................53

3.12. Искусственные переменные в регрессионном анализе…………................55

3.12.1. Моделирование разных режимов……………………………....................55

3.12.2. Моделирование сезонной составляющей………………….......................58

Глава 4. Анализ одномерных временных рядов……………………….................61

4.1. Стационарные временные ряды……………………………………................61

4.2. Процессы белого шума и случайного блуждания…………………...............63

4.3. Процесс случайного блуждания и единичный корень……………...............64

4.4. Модели Бокса–Дженкинса………………………………………….................68

4.5. Сезонная декомпозиция (корректировка на сезонность)…………...............73

4.6. Модели экспоненциального сглаживания…………………………...............77

4.6.1. Простая и двойная экспоненциально взвешенная

скользящая средняя………………………………………………….......................77

4.6.2. Модели Холта-Винтера……………………………………….....................80

Глава 5. Динамические эконометрические модели……………………...............83

5.1. Уравнения авторегрессии………………………………………….................83

5.2. Уравнения с распределённым лагом (лаги Алмон)………………...............85

Глава 6. Единичные корни и коинтеграция……………………………...............87

6.1. Метод Энгеля–Гренджера…………………………………………................87

6.2.  Ложная регрессия…………………………………………………..................91

Глава 7. Векторная авторегрессия………………………………………...............93

7.1. Общие положения……………………………………………………...............93

7.2. Тест Гренджера на причинность……………………………………...............97

7.3. Функция реакции на импульс……………………………………….............101

Глава 8. Регрессионный анализ для нестационарных временных рядов   

(модель коррекции ошибок)………………..........................................................103

Библиографический список……………………………………………................109

Учебное издание

Павел Яковлевич Бушин

Эконометрика

На EViews

Практикум по решению задач

Учебное пособие

Редактор Г.С. Одинцова

680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ