Тест Гренджера на причинность

Приведём пример моделирования временных рядов, удовлетворяющих условию стабильности VAR(2)-модели. Итак, пусть рассматриваются ряды, изображённые на рисунке 7.4. Здесь х – показатель роста промышленного производства России за 58 месяцев, исправленный на сезонность, у – аналогичный показатель инвестиций в промышленность.

Рисунок 7.4 – Анализируемые ряды

Проведём тест на причинность по Гренджеру. Суть этого теста в следующем. Известно, что существование зависимости между переменными не означает причинную обусловленность. Установление причинно-следственных связей не относится к статистическим исследованиям. Обычно это устанавливается на основе профессионально логических соображений. Но на основе статистических методов можно установить, улучшают ли прошлые значения одной переменной предсказания значений другой. Если это так, то говорят, что одна переменная является причиной (по Гренджеру) другой переменной.

Подобная причинность рассматривается в информационном аспекте, т.е. с определением того, что предшествует чему, а также с информативностью переменной с точки зрения прогнозирования другой переменной.

Причинность по Гренджеру применяется обычно к стационарным коинтегрированным временным рядам.

Тест Гренджера на причинность предполагает, что информация, относящаяся к предсказанию переменных, содержится исключительно во временных рядах этих переменных. Тест Гренджера включает оценку следующей пары регрессий

Здесь предполагается, что остатки регрессий не коррелированны.

В контексте VAR переменная  будет причиной , если коэффициенты при лагах  в первом уравнении статистически значимы ( ), а коэффициенты при лагах  во втором уравнении статистически не значимы ( ) и наоборот. Следует отметить, что возможна и двухсторонняя причинная связь: т.е. одновременно  является причиной  и  является причиной  (тогда обе группы обсуждаемых коэффициентов статистически значимы). А возможна и обоюдная независимость, когда обе группы коэффициентов статистически незначимы.

Для тестирования переменных на причинность по Гренджеру необходимо выполнить следующие действия (для первого уравнения).

1. Оценивается регрессия переменной  на её лаговые значения, причём, в эту регрессию не включаются лаговые значения другой переменной ( ), и оценивается объяснённая сумма квадратов отклонений (RSS ).

2. Оценивается регрессия с включением в неё лаговые значения обеих переменных и также оценивается объяснённая сумма квадратов отклонений (RSS ).

3. Нулевая гипотеза H : , т.е. лаговые члены переменной  не принадлежат этой регрессии.

4. Тестируется эта гипотеза на основе F-статистики:

с числом степеней свободы числителя m, и знаменателя (n–k), где m – число лаговых переменных в уравнении регрессии, k – число параметров, оцениваемых в п. 2.

5. Если расчётное значение F-статистики больше критического, то нулевая гипотеза отклоняется и считается, что  есть причина .

6. Шаги 1–6 могут быть повторены и для тестирования другого уравнения.

Следует отметить, что в этом тесте число лаговых членов в каждом уравнении может оказывать значимое влияние на конечное решение. Одна из рекомендаций в решении этой проблемы предлагает использование информационных критериев Акаике и Шварца. Кроме того, значимые выводы здесь можно получить только лишь на основе F-статистик, но не на основе тестирования отдельно коэффициентов моделей.

На рисунке 7.5 приведён тест Гренджера на причинность рассматриваемых двух переменных. Вывод на основе этого теста такой: если выбрать число лагов, равное 4, то гипотеза о независимости  от  (на 5%-ном уровне значимости) не отклоняется (Probability = 0,20415), противоположная гипотеза –  не есть причина  также не отклоняется (Probability = 0,59528). Т.е. в нашем примере причинность по Гренджеру не установлена.

Рисунок 7.5 – Тест Гренджера на причинность при лаге 4

При лаге, равном двум (рисунок 7.6), прослеживается слабая причинность от  к , хотя с точки зрения экономической теории должно бы было быть наоборот. Надо иметь в виду, что это не истинная причинность, а установление того, что помогает в прогнозировании чего.

Рисунок 7.6 – Тест Гренджера на причинность при лаге 2

При проверке причинности надо было бы предварительно проверить, коинтегрированы ли эти ряды. Проверим это сейчас, выбрав в качестве зависимой переменной , что более логично с точки зрения их экономического содержания (рисунок 7.7).

Рисунок 7.7 – Уравнение регрессии

Тест на единичный корень показал (рисунок 7.8), что на 5%-ном уровне значимости можно считать, что остатки являются стационарным временным рядом, и анализируемые временные ряды являются коинтегрированными.

Рисунок 7.8 – Тест на единичный корень

Оценим VAR(2) для этих рядов (рисунок 7.9). Как видим, здесь  зависит от лаговых значений обеих переменной, а  зависит только от собственных лаговых значений (см. t-статистики). Так, что в большей степени  помогает в прогнозировании  и выбор  в качестве зависимой переменной в уравнении на рисунок 7.7 вполне оправдан.

Рисунок 7.9 – Оценённая VAR(2) исследуемых рядов

Проверим условие стабильности модели VAR(2). Как видно на рисунке 7.10, для данной модели условие стабильности выполнено, т.к. все корни характеристического уравнения по модулю меньше единицы.

Рисунок 7.10 – Проверка условий стабильности модели

Функция реакции на импульс

Поскольку коэффициенты в VAR-моделях трудно идентифицируемы, пользователи этого метода чаще используют анализ функции реакции на импульс. Эта функция отслеживает отклик зависимой переменной в VAR-модели на единовременное (импульсное) изменение (шок) ошибки для разных лагов на текущие и последующие изменения ряда.

Увеличение ошибок в одном уравнении модели приводит к увеличению стандартного отклонения соответствующей зависимой переменной, а поскольку переменные взаимосвязаны, то это приводит к изменению и в других переменных и наоборот. Эти изменения и отслеживает функция реакции на импульс.

Рассмотрим это положение подробнее. Известно, что если рассматривается стационарный процесс, описываемый VAR-моделью, то этот процесс может быть представлен в виде бесконечного скользящего среднего (представление Вольда) для VAR-модели: , где матрицы  представляют собой так называемую функцию реакции на импульс. Символически эту функцию можно записать в виде производной: . Более точно, функция реакции на импульс представляет собой последовательность ( (j=0,1,2,…), где l и r – индексы пары изучаемых переменных. Величина (  показывает, как влияет ошибка  (которая соответствует уравнению для переменной ) на переменную  при её запаздывании на j периодов. На рисунке 7.11 приведёны графики этой функции рассматриваемой VAR-модели. Тот факт, что модель стабильна, сказалось и на значениях функции реакции на импульс. Они стабилизировались для переменной Х на уровне 3, а для переменной У на уровне единицы.

Как видим, ошибки в уравнении для переменной Х  в большей мере влияют на значения моделируемых показателей, чем ошибки в уравнении для переменной У.

Рисунок 7.11 – График функции реакции на импульс VAR-модели

Глава 8