Процессы белого шума и случайного блуждания

Рассмотрим простые по структуре временные ряды, которые используются для описания изменения во времени реальных экономических показателей.

Процессом белого шума называют стационарный временной ряд, для которого математическое ожидание равно нулю, дисперсия не зависит от времени (постоянна), и коэффициенты автокорреляции любого порядка равны нулю. Последнее означает, что речь идёт о чисто случайном стационарном процессе.

Процессом авторегрессии в простейшей форме (авторегрессия первого порядка или AR(1)-процесс) называется процесс, описываемый следующим уравнением:

где  – процесс белого шума,  – некоторая случайная величина, а  – некоторый постоянный коэффициент.

Известно, что если , то модель описывает стационарный временной ряд, при  имеем нестационарный случайный процесс, называемый процессом случайного блуждания (random walk process), а при  – нестационарный случайный процесс взрывного характера и в эконометрическом анализе такой не рассматривается.

Рассмотрим процесс случайного блуждания.  Как известно, такой процесс можно представить в виде . Этот процесс стационарен по отношению к средней, но не стационарен по отношению к дисперсии (его математическое ожидание равно , а дисперсия с течением времени растёт линейно до бесконечности). Такой процесс называют процессом со стохастическим трендом. Если в процесс случайного блуждания включить константу, т.е. представить его в виде , то получим случайное блуждание с дрейфом (random walk with drift). Его можно представить в виде , т.е. здесь на стохастический тренд накладывается ещё и детерминированный линейный тренд.

Взяв первые разности процесса случайного блуждания, получим стационарный случайный процесс:  или , где L – лаговый оператор первого порядка ( ). Такие процессы называются процессами единичного корня. Этот термин объясняется тем, что у лагового полинома  корень равен единице.

На практике модель случайного блуждания используется для описания относительных показателей, в том числе динамики темпов роста, а процесс случайного блуждания с дрейфом – для описания многих временных рядов, описывающих абсолютные показатели, включая предложение денег и реального валового национального продукта.