Решение ОДУ первого порядка

В случае уравнения первого порядка задаётся одно начальное условие на левом конце интервала интегрирования, т.е. в виде y(t₀)=y₀. Решение уравнения разыскивается на отрезке времени [t₀,t₁]. На рабочем листе алгоритм решения уравнения записывается следующим образом (рис. 1):

• задаётся имя правой части уравнения, например f(t,y), которому присваивается её выражение;
• печатается оператор Given;
• печатается дифференциальное уравнение в классической форме;
• записывается начальное условие;
• решение записывается в виде: y:=Odesolve(t, t1).

Рис. 1. Пример решения дифференциального уравнения 1-го порядка блоком Given…Odesolve

Примечание.Для ввода главного символа производной «'» необходимо после имени функции напечатать[Ctrl] +F7. Внутри блока Given…Odesolve левая и правая части в записи уравнения и начального условия отделяются только символом эквивалентности(выделенный знак равенства), который вводится комбинацией клавиш [Ctrl] +=(равно) или щелчком мыши на панели Boolean.

2.3. Решение ОДУ n-го порядка с одной неизвестной функцией

Решение ОДУ n-го порядка с одной неизвестной функцией блоком Given…Odesolveформально не отличается от решения уравнения первого порядка: сначала на рабочем листе записывается ключевое слово Given, далее дифференциальное уравнение с начальными условиями и, наконец, функцияOdesolve(t, tend,k) с параметрами. В список параметров входят:t– аргумент искомой функции, tend – правый конец интервала интегрирования уравнения,k– число шагов, за которые происходит вычисление решения уравнения (рис.2) (необязательный параметр, который может в записи функции не указываться).

На рис. 2 приведен пример решения ОДУ 3-го порядка с одной неизвестной функцией x(t).

Рис. 2. Пример решения ОДУ 3-го порядка блокомGiven …Odesolve

Решение систем ОДУ первого порядка

Для решения в MathCadсистемы уравнений любым из рассмотренных ниже методов исходная, т.е. записанная в математической форме система уравнений:

, , (1)

где t-аргумент(обычно подразумевается время),

f_k(t,y₁,y₂,…y_n) - заданная функция своих аргументов, должна быть преобразована к виду:

, (2)

где Y- вектор (матрица-столбец) искомых функций,

D(t,Y)- вектор (матрица-столбец) значений производных – вектор правых частей системы уравнений в любой точке решения, представленного в виде матрицы-столбца(Y(t).

Использование решающего блока Given …Odesolveявляется одним из способов решения систем ОДУ первого порядка. На рабочем листе система уравнений должна быть записана с производными слева, порядок записи начальных условий несущественен. Как и ранее правая часть уравнений отделяется от левой символом эквивалентности (выделенный знак равенства). Пример решения системы 3-х уравнений приведен на рис.3.