Системы нелинейных алгебраических уравнений

2.1. Решение с помощью вычислительного блока Given…Find

Наиболее распространённым методом решения нелинейных алгебраических уравнений в MathCad является решение с помощью вычислительного блока Given…Find. Данный вычислительный блок реализует решение методом последовательных приближений, поэтому, как и в случае линейных уравнений, необходимо задавать начальное приближение для всех неизвестных системы уравнений. Последовательность создания рабочего листа следующая:

• присвоить начальное приближение – некоторое численное значение, неизвестным уравнений, например, напечатать: х₁:=а₁ х₂:= а₂ х_n:=а_n,гдеx_i(i=1,…,n) - имена неизвестных,a_i(i=1,…,n)– заданные числа,n– число уравнений;
• напечатать оператор Given;
• записать заданные уравнения (напомним, что знак равенства вводится нажатием совокупности клавиш Сtrl+=(равно) или щелчком мыши на панели Boolean);
• напечатать vec:=Find(x₁, x₂,…, x_n), где vec - идентификатор матрицы-столбца неизвестных;
• напечатать vec= (равно) для вывода результатов решения уравнений и нажать клавишу ввода (Enter).

Рис. 8. Пример решения системы нелинейных алгебраических

уравнений блоком Given...Find.

Решение системы нелинейных алгебраических уравнений

вычислительным блоком Given…Minerr.

Как следует из приведенного ниже на рис. 9 примера применения решающего блока Given…Minerr его запись на рабочем листе не отличается от записи блока Given…Find. Следует отметить, что оба эти блока используют один и тот же вычислительный алгоритм. Поэтому в том случае, когда существует точное решение системы уравнений, результаты решения обоими блоками совпадают. Различие состоит в том, что блок Given…Findвыдаёт ошибку, когда нет точного решения, а блок Given…Minerr находит минимум невязки, т.е. возвращает значение аргумента, соответствующее минимуму расхождения между заданным значением и решением.

При использовании блока Given…Minerr полученные решения необходимо проверять другими методами, так как нередко решение является ошибочным.

Рис. 9. Пример решения системы нелинейных алгебраических уравнений

блоком GivenMinerr

Решение системы алгебраических уравнений в символьной форме

Для записи на рабочем листе решения системы уравнений необходимо использовать шаблон (рис.10), который вызывается щелчком левой кнопки мыши опции solve на панели Symbolic(символьные вычисления).

Рис. 10. Шаблон решателя системы алгебраических уравнений

с использованием панели Symbolic:

1 – система уравнений; 2 – список неизвестных; 3 – число значащих цифр в решении после десятичной точки.

На рис. 11,12 приведены несколько вариантов решения системы линейных алгебраических уравнений с использованием панели Symbolic.

Рис. 11. Решение систем линейных алгебраических уравнений в

символическом виде

Следует отметить, что при использовании решающего блока Given…Find система уравнений может быть записана в произвольной форме, а не только в каноническом виде (Рис.11.).

Рис. 12.Пример решения системы линейных алгебраических уравнений

при произвольной форме записи уравнений