Вывести условия параллельности, совпадения и перпендикулярности прямых на плоскости.

Условие параллельности двух прямых (вывод):

а) Если прямые  и   заданы уравнениями с угловым коэффициентом и параллельны, то . Тогда   и из формулы

 или . Таким образом, достаточное условием параллельности двух прямых на плоскости является равенство их угловых коэффициентов.

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е. .

Условия перпендикулярности двух прямых (вывод):

а) Если прямые  и  заданы уравнениями с угловым коэффициентом и перпендикулярны, то . Так как  , то   и ,   т.е. .

Таким образом, , необходимое и достаточное условие их перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде A₁x + B₁y + C₁ = 0,

                         A₂x + B₂y + C₂ = 0,

, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства A₁A₂ + B₁B₂ = 0.