Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

· Существуют левосторонний предел  и правосторонний предел ;

· Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

· Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

.

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

· Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Пример. Рассмотрим функцию
Разрыв функции возможен только в точке x=2 (в остальных точках она непрерывна как всякий многочлен).
Найдем , . Так как односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, то в точке x=2 функция имеет разрыв первого рода. Заметим, что , следовательно функция в этой точке непрерывна справа (рис. 2).

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример. Функция y=2^1/x непрерывна для всех значений x, кроме x=0. Найдем односторонние пределы: , , следовательно x=0 – точка разрыва второго рода (рис. 3).

Билет 13 ????????????

1. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость  и точка . Так как точка  не лежит на плоскости, то .

Выберем произвольную точку  на плоскости. В этом случае имеем .

Вычитаем из первого соотношения второе получим

Последнее соотношение представляет собой скалярное произведение нормального вектора плоскости и вектора  в координатной форме. По определению скалярного произведения имеем

 или . Или окончательно

Как вычисляется угол между плоскостями

Пусть даны две плоскости  и . Если они пересекаются, то угол между плоскостями определяется как угол между нормальными векторами этих плоскостей. Угол между двумя нормальными векторами определяется через скалярное произведение в координатной форме. , где  и -нормальные векторы плоскостей.

Вывести условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.??????

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.