Физический смысл векторного произведения

-момент силы относительно тоски О; -радиус-вектор точки приложения силы , тогда  причем если перенести  в точку О, то тройка , , должна быть ориентирована как вектор базиса.

Свойства векторного произведения.

1. антикоммутативность ;

2. свойство дистрибутивности           или ;

3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число.

 Вычисление векторного произведения «в координатах» (с выводом).

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , , , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

2. Нахождение производной функции, заданной параметрически (с обоснованием).

Вывод формулы производной параметрически заданной функции.

Пусть ,  определены и дифференцируемы при , причем и имеет обратную функцию .

Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию , аргументом которой является x. По правилу нахождения производной сложной функции имеем: . Так как   и обратные функции, то по формуле производной обратной функции , поэтому

Нахождение производной функции, заданной неявно (на примере).

Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .

Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно , оказывается возможным найти производную от по . Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства  по аргументу x, считая y – функцией от x, и после этого выразить .

Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x), проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции.

Пример.

Найти производную неявной функции .

Решение.

Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x и y: . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:
        

Разрешим полученное уравнение относительно производной:

Билет 8

1. Смешанное произведение векторов.

Сме́шанное произведе́ние   векторов —скалярное произведение вектора  на векторное произведение векторов  и : .

Его геометрический смысл.

Если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и  компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и  равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен:

 Вычисление смешанного произведения через координаты векторов (вывод).

Пусть заданы вектора: а = а_хi + а_yj + а_zk ,  b = b_хi + b_yj + b_zk    и    с = с_хi + с_yj + с_zk

Найдем их смешанное произведение, используя выражение в координатах для векторного и скалярного произведений:

.

Итак,   .

Следовательно, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

2. Производная сложной функции, производная обратной функции (с доказательствами).