Геометрическая интерпретация (уравнения касательной и нормали).

Рассмотрим график функции .

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.
Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

1. Касательной к графику функции в точке (х_0; f(х₀)) называется предельное положение секущей (АС).

Уравнение касательной:

2. Прямая, перпендикулярная касательной (АС) в точке (х_0; f(х₀), называется нормалью к графику функции.

Уравнение нормали:  

Билет 11

1. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

Если задана точка , то расстояние до прямой определяется как .  

Доказательство. Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками  и : (1)

Координаты  и  могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку  перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду: , то, решая, получим:

   _,

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

   . Теорема доказана.

2. Доказательство первого замечательного предела   .

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы    и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности .

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора )

(из :      )

Подставляя в (1), получим:

< <

Так как при >0, x>0, >0:

< <

Умножаем на :

< < 1

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Билет 12

1. Вывести общее уравнение плоскости.

Для получения общего уравнения плоскости мы воспользуемся теоремой, согласно которой, плоскость  можно определить, задавая произвольную точку ,
принадлежащую этой плоскости, и направление перпендикуляра, нормали, к этой плоскости – вектор :
Пусть точка принадлежит плоскости . Тогда вектор также принадлежит плоскости  (в рассматриваемом случае вектор приложен к точке ). Так как вектор , то векторы и  взаимно перпендикулярны. Используя свойство скалярного произведения для векторов и , можем записать: × = × =

, (1)

уравнение (1) приводится к виду: , сохраняя свойство принадлежности: .

Имея выражение (1), можем предположить, что выражение, содержащее переменные  в первой степени (то есть линейное выражение): , (2)

является уравнением некоторой плоскости пространства. Действительно, пусть некоторая точка  принадлежит геометрической фигуре, определяемой выражением (2). Это значит, что имеем тождество: .   (3)

Вычитая из равенства (2) равенство (3), получаем выражение (1), которое определяет плоскость, определяемую точкой и вектором нормали . Уравнение (2) за его свойство представлять любую плоскость пространства называют общим уравнением плоскости.

 Получить уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (с выводом).

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид: ,  где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Рисунок, поясняющий этот момент.