Вычисление скалярного произведения через координаты (вывод).

Пусть заданы два вектора   и    

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов , , :

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат

Условие перпендикулярности двух векторов в векторной и координатной формах.

- Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

 - Даны два вектора  и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение на плоскости, а в трехмерном пространстве .

2. Дифференциал: определение, геометрическая интерпретация, применение к приближенным вычислениям.

Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента  Δ f = A·Δx + o(Δx),        то есть df = A·Δx.

Геометрический смысл дифференциала

Возьмем на графике некоторую точку и другую точку , абсцисса которой . Проведем касательную  к графику функции в точке . По определению известно, что . А из треугольника KMN известно, что . Итак

Геометрический смысл: значение дифференциала функции при данном значении аргумента  и данном приращении равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой  графика этой функции, при переходе от точки касания (с абсциссой ) к точке касательной (с абсциссой )

Замечание. Из определения дифференциала следует, что производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Абсолютной погрешностью приближенной величины называется абсолютная величина разности между точным значением этой величины и её приближенным значением : . Границей абсолютной погрешности приближенной величины называется любое положительное число , не меньше : .

Отсюда . Чем меньше , тем точнее найдена величина.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения измеряемой величины: .

Границей относительной погрешности называется отношение . При этом  и - часто выражают в процентах. Пусть нам известно значение функции  и её производной в точке  . Найдем значение функции .

Для этого воспользуемся приближенным равенством  или .

Но , поэтому , откуда .

Показано, что абсолютная погрешность не превышает , где - наибольшее значение на сегменте .

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Билет 7

1. Векторное произведение двух векторов и его физический смысл.

Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что