Формула нахождения производной сложной функции.

Производная сложной функции

Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a₁, b₁] → [c₁, d₁], причём [a₁, b₁] [c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х₀ [a, b], а функция g дифференцируема в точке y₀ = f (x₀) [a₁,b₁], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х₀ производную, равную

g ' ( f ( x₀ ) )·f ' ( x₀ ).

Доказательство. Так как функция g(y) дифференцируема в точке у₀, то имеем

Δ g (y) = g ' (y₀)·Δy + δ(Δy)·Δy,

где δ(Δ х) → 0 при Δ х → 0. Так как функция f (x)дифференцируема в точке х₀, то имеем

Δ y = f ' ( x₀ )·Δx + ε (Δx)·Δx,

где ε(Δх) → 0 при Δ х → 0. Поставляя второе соотношение в первое, получим

Разделив обе части последнего соотношения на Δх, получим

.

Переходя к пределу при Δх → 0 в левой и правой части последнего равенства с учётом непрерывности рассматриваемых функций, получим   g ' ( f ( x ) )|_x0 = g ' (y₀)·f ' (x₀).

Что и требовалось доказать.

Производная обратной функции

Рассмотрим функцию f(x), которая является строго монотонной на некотором интервале (a, b). Если в этом интервале существует точка x₀, такая, что f '(x₀) ≠ 0, то функция x = φ(y), обратная к функции      y = f(x), также дифференцируема в точке y₀ = f(x₀) и ее производная равна: .

Докажем приведенную теорему о производной обратной функции.

Пусть переменная y получает в точке y₀ приращение Δy ≠ 0. Соответствующее ему приращение переменной x в точке x₀ обозначим как Δx, причем Δx ≠ 0 в силу строгой монотонности функции y = f(x). Запишем отношение приращений в виде: .

Допустим, что Δy → 0. Тогда Δx → 0, поскольку обратная функция x = φ(y) является непрерывной в точке y₀. В пределе, при Δx → 0, правая часть записанного соотношения становится равной

.

В таком случае левая часть также стремится к пределу, который по определению равен производной обратной функции: .

Таким образом, , то есть производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.

Формула нахождения производной сложной функции.

Билет 9