Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

Векторы бывают линейно зависимыми или независимыми. Эти свойства определяют на основе следующих правил:

1) Векторы  называются линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа  одновременно не равны нулю, при которых подтверждается равенство

2) Если равенство  выполняется только при условии, что , тогда векторы называются линейно независимыми.

2. Формула Лангранжа (формула конечных приращений) и её геометрическая интерпретация.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.

Геометрическая интерпретация формулы Лагранжа

Пусть функция  удовлетворяет на отрезке  условиям теоремы Лангража, - хорда, соединяющая точки , графика Г этой функции (рис. 4.1). Отношение  из равенства есть угловой коэффициент хорды , а производная  является угловым коэффициентом касательной Т, проведенной к Г в точке . Итак, заключаем, что на графике данной функции существует хотя бы одна точка , касательная Т, в которой к графику функции Г параллельна его хорде (рис. 4.1)

Признаки монотонности функций.

Функция называется неубывающей (невозрастающей) на , если для любых , принадлежащих , выполняется  ( ) .

Определение: Функция называется возрастающей (убывающей) на , если для любых , принадлежащих , выполняется  ( ).

Функция называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

Например: Функция является возрастающей на промежутке , так как:

для

Функция называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

Например: Функция является строго убывающей на промежутке , так как:

для

Функция называется неубывающей на промежутке, если из неравенства следует неравенство .

Функция называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства следует неравенство .

Достаточные признаки монотонности функции.

· Еслиf '( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

· Если f '( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

Билет 5 ????????

1. Базис.

— множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Ортогональный базис.

Базис   евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.  при

Ортонормированный базис

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину (Т.е.ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами).