Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Декартовая прямоугольная система координат.
Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY - осью ординат (третья ось OZ - осью аппликат). Каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел - координат данной точки. Левая и правая системы координат. Три некомпланарных вектора , , , взятых в указанном порядке называют тройкой векторов. Пусть векторы , и отложены из одной точки. Будем смотреть с конца вектора на плоскость, в которой лежат векторы и . Если кратчайший поворот от к совершается против часовой стрелки, то тройка векторов , , называется правой тройкой(рис.9.2). Если же указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка векторов , , называется левой(рис.9.3).
Декартовая прямоугольная система координат Охуz называется правой,если тройка её базисных векторов является правой, и левой,если тройка ─ левая. В основном используют правые прямоугольные системы координа Координаты вектора – коэффициенты его разложения в ортогональном базисе. Любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации тройки взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов : Формула выражает разложение вектора по ортогональному базису , а его координаты являются коэффициентами разложения вектора в ортогональном базисе. Коэффициенты разложения – проекции на оси координат. Из рисунка видно, что коэффициенты разложения-координаты вектора ( ) являются проекциям вектора на оси координат Радиус – вектор точки. - это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой. Длина вектора «в координатах». формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид , длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле . Направление вектора. Направлением вектора считается направление от его начала к его концу «Направляющие» косинусы и зависимость между ними. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат. Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам. Если в пространстве задан вектор , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам: , , Здесь и - углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:
2. Формула Лангража конечных приращений. Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что . Правило Лопиталя (вывод). Теорема Лопиталя: Если:
то существует . Пределы также могут быть односторонними. Или Теорема 5.5 (Правило Лопиталя) Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть и при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных: . Тогда предел отношения самих функций и тоже существует и равен тому же числу L: Доказательство. Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны L: и Пусть , . По теореме Коши, применённой к отрезку , получим тогда, с учётом того, что , , , где . Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при : , так как, очевидно, при имеем также . Теперь возьмём точку , и применим теорему Коши к отрезку . Получим : , где . Переходя к пределу при , получаем , так как при имеем . Итак, оба односторонних предела отношения равны L. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что Примеры его применения. Задание. Найти Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя. Ответ. Задание. Найти Решение. Получим неопределенность не подходящую под правило Лопиталя, приведем ее к нужному виду и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.
Ответ.
Билет 6 1. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Его физический смысл. Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы вдоль вектора перемещения . На рисунке 1 сила разложена на две ортогональные составляющие и , причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора создается составляющей и равна . С другой стороны, , откуда получаем: Свойства скалярного произведения. Для любых векторов , , и любого действительного числа : 1) a · b = b · a -свойство перестановки (коммутативности): (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется); 2) a · (b · c) = (a · b) · c -свойство распределения: (результат не зависит от порядка умножения); 3) a(b+c)=ab+ac - свойство дистрибутивности 4) (λ a) · b = λ (a · b) - свойство сочетания (по отношению к скалярному множителю): 5) Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны друг к другу) 6) a · a = a2 = |a|2 - свойство квадрата (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля); 7) ; Для доказательства координаты векторов: , , подставляются в формулу произведения . После подстановки координат получается выражение , которое и соответствует сумме скалярных произведений . |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 384. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |