Декартовая прямоугольная система координат.

Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY - осью ординат (третья ось OZ - осью аппликат).

Каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел - координат данной точки.

Левая и правая системы координат.

Три некомпланарных вектора , , , взятых в указанном порядке называют тройкой векторов. Пусть векторы , и отложены из одной точки. Будем смотреть с конца вектора на плоскость, в которой лежат векторы и . Если кратчайший поворот от к совершается против часовой стрелки, то тройка векторов , , называется правой тройкой(рис.9.2). Если же указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка векторов , , называется левой(рис.9.3).

Декартовая прямоугольная система координат Охуz называется правой,если тройка её базисных векторов является правой, и левой,если тройка ─ левая.

В основном используют правые прямоугольные системы координа

 Координаты вектора – коэффициенты его разложения в ортогональном базисе.

Любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации тройки взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов  :

Формула    выражает разложение вектора  по ортогональному базису , а его координаты  являются коэффициентами разложения вектора в ортогональном базисе.

Коэффициенты разложения – проекции на оси координат.

Из рисунка видно, что коэффициенты разложения-координаты вектора ( ) являются проекциям вектора на оси координат

Радиус – вектор точки.

- это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой.
Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат

Длина вектора «в координатах».

формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид , длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Направление вектора.

Направлением вектора считается направление от его начала к его концу

 «Направляющие» косинусы и зависимость между ними.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам: , ,

Здесь  и - углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

2. Формула Лангража конечных приращений.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что .

Правило Лопиталя (вывод).

Теорема Лопиталя:

Если:

1. ;
2. и дифференцируемы в окрестности ;
3. в окрестности ;
4. существует ,

то существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Или

Теорема 5.5 (Правило Лопиталя) Пусть функции  и  непрерывны в некоторой окрестности  точки  и , то есть   и   при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных:        . Тогда предел отношения самих функций и тоже существует и равен тому же числу L:

Доказательство. Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны L: и

Пусть , . По теореме Коши, применённой к отрезку , получим тогда, с учётом того, что ,  , , где .                           

 Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при : ,

так как, очевидно, при имеем также .                                                                       Теперь возьмём точку , и применим теорему Коши к отрезку .                         Получим : , где .                                                           

Переходя к пределу при , получаем ,

так как при   имеем .

Итак, оба односторонних предела отношения равны L. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что

Примеры его применения.

Задание. Найти

Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.

Ответ.

Задание. Найти

Решение. Получим неопределенность не подходящую под правило Лопиталя, приведем ее к нужному виду и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.

Ответ.

Билет 6

1. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

 Его физический смысл.

Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы вдоль вектора перемещения .

На рисунке 1 сила разложена на две ортогональные составляющие и , причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора создается составляющей и равна .    

С другой стороны, , откуда получаем:

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов , ,  и любого действительного числа :

1)  a · b = b · a -свойство перестановки (коммутативности): (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);

2)  a · (b · c) = (a · b) · c -свойство распределения: (результат не зависит от порядка умножения);

3) a(b+c)=ab+ac - свойство дистрибутивности

4)  (λ a) · b = λ (a · b) - свойство сочетания (по отношению к скалярному множителю):

5)  Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны друг к другу)

6) a · a = a2 = |a|2 - свойство квадрата (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);

7) ;
Доказать равенство a(b+c)=ab+ac.

Для доказательства координаты векторов: , ,  подставляются в формулу произведения . После подстановки координат получается выражение , которое и соответствует сумме скалярных произведений .